专题8 一元二次方程及其应用.docx

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1、专题8一元二次方程及其应用一、考纲要求1．了解一元二次方程及其相关概念.2．会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．3．会列一元二次方程解决实际问题.二、知识梳理1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系

2、数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.（3）公式法一元二次方程的求根公式是（4）因式分解法一般步骤：①将方程化为一般形式，即ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式；③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．3．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(

3、1)设未知数：弄清题意，确定适当的未知数；

4、19(2)寻找等量关系，列出方程，注意方程两边的代数式的单位要相同；(3)解方程；(4)检验并写出答案．三、要点精析一元二次方程的解法与一元二次方程的实际应用是中考考查的重点内容，一元二次方程的解法常以选择题、填空题的形式出现，或者与二次函数结合，一元二次方程的实际应用多出现在以社会热点为题材的解答题中．易错知识辨析：1.概念：判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断.在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中,要注意，强调a≠0．因当

5、a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．2.解一元二次方程要注意：⑴应用求根公式法解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1，x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑵用因式分解的方法解一元二次方程时一般将其化为一般形式，再分解因式.但是有的方程只需移项、分解因式更简便.例如(3x＋1)2=2（3x＋1）-1试题解析：(3x＋4

6、)2-2（3x＋4）+1=0(3x＋4-1)2=0即：(3x＋3)2=0x1=x2=-1⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4），而是移项，提取公因式(x+4)⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．用直接开平方的方法时要记得取正、负.记住：一元二次方程若有根，则必有两个.四、中考真题和试题精粹1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．C．D．【答案

7、】C【解析】试题分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．试题解析：A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；

8、19B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误

9、．故选C．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．考点：一元二次方程的定义．2.关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋

10、a

11、－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（　　）A、－1B、0C、1D、－1或1【答案】A【解析】试题分析：先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．试题解析：把x＝0代入方程得：

12、a

13、－1＝0，∴a＝±1，∵a－1≠0，∴a＝－1．故选A．点评：本题考查的

14、是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义.3.若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的两根为0．2，则

15、3a＋4b

16、之值为何（　　）A．2B．5C．7D．8【答案】B【解析】试题分析：先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋