5-3换元法和分部积分法.ppt

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1、第三节定积分的换元法和分部积分法不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法二、定积分的分部积分法第五章8/30/20211一、定积分的换元法定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则8/30/20212说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限8/30/20213例1.计算解:令则∴原式=且8/30/20214例2.计算解:令则∴原式=

2、且8/30/20215补充题解：设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.8/30/20216例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零8/30/20217奇函数例4.计算解原式偶函数单位圆的面积8/30/20218证（1）设例5若在上连续，证明:由此计算.8/30/20219（2）设8/30/202110二、定积分的分部积分法定理2.则证:8/30/202111例6.计算解:原式=8/30/202112另例.计算解8/30/202113例7.证明证:令n为偶数n为奇数则令则8/30/202114由此得递推公式于是而故所证结论成立.8/30/20211

3、5内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习1.提示:令则8/30/2021162.设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得得8/30/2021173.设求解:(分部积分)作业P2491(4),(10),(16);6;11(4),(9),(10)8/30/202118