高等数学5-3定积分的换元法和分部积分法

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1、二、定积分的分部积分法第三节不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法1一、定积分的换元法定理1.即在上(或)(或)2证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.这因为：是的原函数,则3应用换元公式时应注意:换元必换限,原函数中的变量不必代回.4换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限5换元公式也可反过来使用,即配元配元不换限6例1计算解令7例1计算解8例2计算解9例3计算解原式10例4.计算解:令则∴原式=且11例6.计算解:令则∴原式=且12例7.求证：证：即只需证：13例7’.(1)若(2

2、)若偶倍奇零14奇函数例8计算解原式偶函数单位圆的面积15例9设函数解1所以16解2令x-2=t，有17例10计算积分解（1）当时（2）当时（3）当18证（1）设19（2）设2021例12证明下列等式：证明:（1）等式两边被积函数相同，应从积分区间入手，设22对等式右端第二个积分设所以原式成立23证明：24证明：25证明：26例是连续函数，解:令则且27是连续函数，解:令则且28例13是连续奇函数，证明是偶函数；是连续偶函数，证明是奇函数。证明:(1)令对设t=-u有即证毕，同理可证(2)29定积分的分部积分公式推导二、定积分的分部积分法30例14.计算解:原式=31例15计算

3、解32例16计算解33解例17.设求3435例18设f（x）在积分区间上连续，证明：证明1：用分部积分法36证明2左端=37证明3(常用)38例19证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证39由此得递推公式于是而故所证结论成立.为正偶数为大于1的正奇数40例20设解41例21设f（x）连续，计算解（1）令x+t=u，则dt=du（2）42思考与练习1.提示:令则432.设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得得443.设求解:(分部积分)45解：5.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端4647484950