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1、一、平面图形的面积二、旋转体的体积五、定积分在医学上的应用第三节定积分的应用三、变力沿直线所作的功四、连续函数在已知区间上的平均值Oxyy=f(x)ab回忆曲边梯形面积的求法微元法(1)分割(2)近似(3)求和(4)取极限分析面积元素Oxyy=f(x)ab一般解决实际问题的基本步骤(1)确定所求量和自变量,以及的变化范围;(2)在中的任一小区间上以均匀变化近似代替非均匀变化,列出所求量的微元(3)对上式积分,即得所求量A的定积分表达式以上用定积分解决实际问题的方法称为微元法.由曲线 、 和直线 、所围成的平面图形
2、.求其面积A.一、平面图形的面积现用微元法求解:在内任取一小区间,它所相应的窄条面积,近似等于高为(以直代曲)、底为 的窄条矩形面积,故微元因此同理,由曲线 、 与直线 、 所围成的平面图形的面积为例3-51求由抛物线和所围成的图形的面积.解解方程组得两曲线的交点、所求面积为例3-52求椭圆的面积.解由椭圆的对称性,所求面积等于第一象限面积的4倍.面积元素b-ba-aOxy解解方程组得两曲线的交点例3-53求抛物线和直线所围成的图形的面积.选为积分变量解法一选为积分变量解法二旋转体就是由一个平面图形饶这平面
3、内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积旋转体的体积为下面用微元法来求由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而形成的旋转体体积.任取,给一个增量,得一微小小区间,它所对应的小旋转体体积 可近似看作是以为底半径、以 为高的圆柱体体积.即xyo同理,由连续曲线 与直线、及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而形成的旋转体体积.例3-54求由椭圆绕轴旋转而成的椭球体的体积.解将椭圆方程化为由公式得出所求的体积为b-ba-aOxy例3-55求由曲线与直线 、围成的图形绕轴旋转而
4、成的旋转体体积.解由公式得出所求的体积为例3-56求由抛物线、直线 及 轴所围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得的体积.解所求体积为圆柱体的体积减去中间杯状物的体积三、变力沿直线所作的功物体在常力F作用下沿直线移动的距离为s,那么常力所作的功W为设物体在变力作用下,沿轴从移动到.在内任取一点,把处的变力近似地看作小区间[x,x+dx]上的常力,得到功的微元于是所求的功为例3-57已知某一弹簧每拉长0.02米要用9.8牛顿的力,求把弹簧拉长0.1米所作的功.解由实验知,弹簧拉伸所需要的力F与伸长量成正比,即(为比例常数)(焦
5、耳)例3-58求函数在区间上的平均值.解四、连续函数在已知区间上的平均值“平均”这个概念概念经常出现于生产实践和科学实验中,例如平均速度、平均功率等.积分中值定理给出了计算函数平均值的公式.例3-59胰岛素平均浓度的测定由实验测定患者的胰岛素浓度,先让病人禁食,以降低体内血糖水平,然后通过注射给病人大量的糖.假定由实验测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为其中,时间t的单位是分钟.求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度.解由积分中值定理可知:例3-60染料稀释法确定心输出量心输出量是指每分钟心脏泵出的血量,
6、在生理学实验中常用染料稀释法来测定.把一定量的染料注入静脉,染料将随血液循环通过心脏到达肺部,再返回心脏而进入动脉系统.假定在时刻t=0时注入5mg的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续30秒监测血液中染料的浓度,它是时间的函数C(t):五、定积分在医学上的应用注入染料的量M与在30秒之内测到的平均浓度的比值是半分钟里心脏泵出的血量,因此,每分钟的心输出量Q是这一比值的2倍,即试求这一实验中的心输出量Q51813832146330C(t)t(s)C(mg/l)O解因此例3-61单位时间内血管稳定流动时血流量取血管的一
7、个横截面来讨论单位时间内的血流量Q.设有一段长为L,截面半径为R的血管,其左端动脉端的血压为,右端相对静脉的血压为,血液黏滞系数为.假设血管中的血液流动是稳定的,由实验可知,在血管的横截面上离血管中心处的血液流速为Lrr+dr解血液量等于血流流速截面积的,由于血液流速随流层而变化,故在横截面上任取一个内半径为,外半径为的小圆环.在该小圆环上血液流速可近似认为是相等的,所以单位时间内通过该小圆环的血流量即小圆环面积于是因此,单位时间内血管稳定流动的血流量为主要内容1.微元法2.求平面图形的面积求旋转体的体积5.定积分在医学
8、中的应用3.变力沿直线所作的功4.连续函数在已知区间上的平均值
