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1、第四节导数的应用一、Lagrange中值定理二、L’Hospital法则三、函数的单调性与极值四、曲线的凹凸性与拐点五、函数曲线的渐近线六、函数图形的描绘一、Lagrange中值定理定理2-3如果函数在闭区间上连续,在开区间上可导,则在内至少存在一点,使下面等式成立或几何解释注意Lagrange中值定理亦称微分中值定理,它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.它是沟通导数和函数之间的桥梁.推论1推论2例2-34证明证明例如二、L’Hospital法则1．定理2-4L’Hospital法则如果函数与满足下列三个条件(1)当(或)时,函数与都趋于或都趋于;
2、(2)当(或)时,函数与都存在,且;(3)存在或者无穷大则当或时,例2-35解例2-36解例2-37解例2-38解方法将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.方法2．（1）例2-39解方法（2）例2-40解方法解（3）例2-41解解例2-42例2-43解利用洛必达法则例洛必达法则失效!注意洛必达法则不是万能的(两边同乘以)事实上三、函数的单调性与极值1．函数的单调性定理2-5若函数在区间内可导,且(或),则函数在区间上单调增加(或单调减少).证应用拉氏中值定理,得解例2-44讨论函数在内的单调性.由定理2-5,在上单调增加解例2-45讨论函数的单调性.在函数的定义域内,除时,外,恒有
3、,在内是严格单调减少的.,所以在及内恒有,因此,求单调区间的方法解定义域为例2-46例2-47求函数的单调区间.解函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义2-3函数在点某邻域内有定义,若在该邻域内有(或)则称为的一个极大值(或极小值).并称为的极大值点(或极小值点).2．函数的极值极大值点极小值点问题1极值点在什么地方取得?问题2如何判断在该点取得极大值还是极小值?定理2-6设函数在点处可导,且在处取得极值,则.满足的点,称为驻点.注意可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点.例如如何来判断驻点是极值点呢?定理2-7(第一判别法)设函数在点的某邻
4、域内可导,且;(1)若时，时,则在点取得极大值.(2)若时，时,则在点取得极小值.(是极值点情形)(3)若当在两侧时,符号不变，则在点不取极值.(不是极值点情形)注意函数的不可导点,也可能是函数的极值点.求极值的步骤:如函数在不可导,但取得极小值.解列表讨论例2-48求的极值.极大值极小值定理2-8(第二判别法)设函数在点有二阶导数,且.(1)若,则是极大值;(2)若,则是极大值;(3)若,无法判断是否在处取得极值.证明解例2-49求的极值.注意而当时和时,故时,不取极值.当时和时,故时,不取极值.3.最大值与最小值求最大值与最小值步骤:(1)求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不
5、可导点的函数值,比较大小,那个最大就是最大值,那个最小就是最小值;注意如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)解计算得例2-50求函数在的最值.比较得:实际问题求最值应注意(1)建立目标函数;(2)求最值令得驻点时,不存在.例2-51肌肉注射或皮下注射药物后,血中的药物浓度可表示为解令,可得其中、 、是大于零的常数,且,问时间为何值时,药物浓度为最大,最大浓度是多少?故时,取极大值.由于C在上只有一个极大值点,且,即当时间时,血药浓度为最大,其最大浓度为.所以时,C达到最大值五、曲线的凹凸性与拐点凹凸定义2-4则称曲线在上是凹的(或凸的).问题:如何判断曲线的凹凸性
6、呢?通过观察可知若曲线在区间[a,b]上凹的,则;若在区间[a,b]上凸的,则.因此有下面的定理.定理2-19例2-52解注意到,求拐点的步骤:连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.注意在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在解例2-53讨论曲线的凹凸性及拐点.凹的凸的凹的拐点拐点不存在故和点是曲线的拐点.定义2-5六、函数曲线的渐近线1.垂直渐近线例如有垂直渐近线:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线如果且例2-54求渐近线.解故是曲线的垂直渐近线.七、函数作图利用函数特性描绘函数图形步骤第二步判断函数的周期性与奇偶性;求函数的定义域,以确定描绘的范围;第一步第四步确定这些区间
7、上、的符号,并由此讨论曲线的升降和凹凸,以及极值点和拐点;第三步求的一阶导数和二阶导数,并在定义域内,求出使、为零的点和导数不存在的点.把这些点由小到大排序,从而把定义域分成若干区间,然后列表；第五步确定渐近线,并根据需要补充一些辅助点的坐标.最后按照曲线的性态逐段描绘,得到函数的图形.例2-55描绘函数曲线的图像.解函数的定义域为.令得令得;拐点极小值不存在不存在不存在则为曲线的垂直渐近线.,补充根据以上信息绘出图形函数为偶函数,
