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1、第一节函数一、函数的概念三、分段函数四、函数的几种简单性质二、初等函数第一章函数和极限一、函数的概念1．常量与变量注意一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定.而在过程中可取不同数值的量称为变量.在某过程中始终保持同一数值的量称为常量,例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是常量；而在研究成人的健康状况时通常是变量．２．函数的概念因变量自变量是自变量 的所有允许值的集合，称为函数的定义域．而因变量 的所有对应值的集合则称为函数的值域.定义1-1设 和 是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量的每一允
2、许的取值，按照一定的规律，变量总有一个确定值与之对应，则称变量是变量的函数．变量称为自变量，变量称为因变量.记为注意1在实际问题中,定义域是由实际问题决定的.注意2函数的两要素为：定义域与对应规律注意3函数的表示法有:公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化．因此,两个函数只有当它们的对应规律和定义域都完全相同时,才认为是两个相同的函数.例1-1在出生后1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系:公式法37例1-2监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线,如下图示:例1-3某地区统计了某年1~12
3、月中当地流行性出血热的发病率,见下表(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty（5）三角函数（4）对数函数（3）指数函数（2）幂函数（1）常函数二、初等函数1.基本初等函数（6）反三角函数等.变量 称为复合函数的中间变量．复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间变量的传递而构成的．例1-4设求 关于的复合函数．2.复合函数定义1-2设变量是变量的函数,变量 又是变量的函数,即如果变量的某些值通过变量可以确定变量的值,
4、则称是的复合函数,记为例1-5设试求解解这里，变量传递顺序是规定好了的，是 的中间变量，是的中间变量，故依次代入可得可见，复合顺序是关键．另外，要注意：若经过变量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意义，或者说它们不能复合．例如，就不能复合．因为的定义域为空集,即函数无意义.例1-6将下列复合函数“分解”为简单函数解注意简单函数是指基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算而得到的函数.定义1-3由基本初等函数经过有限次的四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．3.初等函数在不同的区间上用不
5、同的解析式子表示的函数，称为分段函数．例1-7三、分段函数这是一个分段函数，如图例1-8设某药物的每天剂量为y(单位:毫克),对于16岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为2mg.而对于16岁以下的未成年人,则每天用药剂量y成比于年龄x,比例常数为0.125mg/岁,其函数关系为o1621-1xyo定义为：当时，，例1-9设当时，则1.有界性四、函数的几种简单性质有界M-Myxoy=f(x)bay无界M-Mxoba2.单调性xyoabxyoba增函数减函数设、是函数在定义区间内的任意两点,且.若,则称 在 内是单调递增的;
6、若,则称 在 内是单调递减的.3.奇偶性偶函数yxox-xyxox-x奇函数如果对于函数定义域内的任意点,恒有,则称是偶函数;如果对于函数定义域内的任意点,恒有,则称是奇函数.4.函数的周期性对于函数,如果存在正的常数T,使得恒成立,则称为周期函数,满足这个等式的最小正数T,称为函数的周期.例如都是周期函数,周期为.主要内容１.常量 变量函数的概念２.基本初等函数复合函数分段函数初等函数３.函数的性质：有界性 单调性 奇偶性 周期性
