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1、5.3离散时间:一阶差分方程在离散时间状态下,対动态分析的基本性质并无影响。我们的动态问题基本上仍是山已知的变量y随时间变化的模式,求出时间路径。但现在的变化模式应以差商△y/At來农示;Ay/At是导数dy/dt在离散时间情况下的对应物。t现在仅取整数值,这样,当我们将两个连续吋期的y值相比较时,必然有△t=l。因此,差商△y/Ai可以简化为△『,可称其为y的一阶差分。Ay”=诸如v-y=2或y=o.9y被称作差分方程。该差分方程(1)是线性的,因为没有任意一期的y项自乘至两次或更高次幕,也没有y项与另一期的y项相乘。(2)它是非齐次的,因为方程右边(其中不
2、含y项)为非零。(3)它是一-阶的,因为仅存在一阶差分△$,仅含有一期吋滞。用迭代法解差分方程。我们首先只涉及一阶差分方程的情况。因此,差分方程仅描述两个连续时期间的y的变化模式。一旦这样的变化模式给定,口初始值yO给定,则山方程求出yl便没有问题。类似地,一日-求得yl,则通过重复应用(迭代)差分方程所设定的变化模式,马上就可以得到y2,等等。这样,迭代的结果便使我们得以导出时间路径。例:求差分方程y—y=2丿/+1•/I解:山此方程我们可以得出:乂=儿+2北=X+2=(儿+2)+2=儿+2(2)卩广仏+2=卜°+2(2)]+2=儿+3(2)y=y+t(2)
3、=15+1(2)上面的方程给出了任意吋期的y值(包括起始吋期t=0的y值);因此,它构成了方程的解。例:解差分方程△”=-()或y
4、=0.9y。解:通过迭代,我们有A"儿儿=°・9必=0.9(0.9儿)=(0.9)乜儿=0.9北=o.9[(O.9)2y0]=(0.9)3儿y=(°・9)M一般方法对一阶差分方程y=c,其中a,c为常数,其通解将山两部分的和纽•成,特别积儿+iJt分y〃(完备非齐次方程的任意解)以及余函数(原方程简化方程的通解)V部分仍农示y的瞬时均衡水平,y部分表示时间路径与均衡的偏差。y与y的和构丿p丿C丿P丿C成了差分方程的通解。向以前一样
5、,要很到定解,则需要知道初始备件。W:先求余函数。原方程的简化方程为X,+dy=o山例题提示可用北=丰0)作为试探解。带入原方程可得:Ay+aAy=0,消去非零因子可解得b=a,所以余函数可写成:yc=A(-a)对于特别积分y选择最简单的當数形式y=k进行试探,则y=k,伏I此带入原來的•/I)•/t•//+!完备非齐次方程有k+ak=c^k=^—,所以特别积分可以写作V1+d丿P当a=l时,就应该选择y”二好作为试探解。这时方程为:%+】)+曲),因此儿皿将余函数和特别积分加在•起可得到两种形式的通解:莎+总("-啲情况)y=A(—q)+cl=A+ct(a
6、=-1的怙况)再带入初始值可得Xr一亡)(3+F宀啲情况)yt=儿+ct(a=-1的情况)例:解…阶淤分方程y由-5必=1(儿=右)解为:必=2⑸弓均衡的动态稳定性在连续时间情况下,均衡的动态稳定性取决于余函数中的人幺"项。在离散时间分析中,余函数中的4//则起着同样的作用。均衡是否是动态稳定的问题也就是当8时余函数是否趋于零的问题。从根本上看,我们必须分析当[尢限增大吋4/;项的路径。显然,b值(指数项的底)在这方而具有关键作用。我们首先抛开系数A(假设A=1),单独考察b的含义。我们将b的可能值域分成7个不同的区域,按照b值的递减顺序,列在下图中。在每个不
7、同的区域,指数式//产生了不同的时间路径。不同时期的b1值江域b值"'的值-t=0r=1t=2t=3t=4…I6>1(
8、6
9、>1)例如(2),12481611b=1(b11111IIIo1)例如(-2)”1-24_816b(fiA区域枳的圆形IV000Hi>VII>HI>v——>oD上面讨论的实质可通过如下一艘陈述来表达:■茫;]则F的时间
10、路径将是菲振荡的振荡的作业:解下列差分方程的解,并判断时间路径的解是否是振荡口收敛的。⑴儿厂壮=6(儿=1)⑵x+,+2X=9(儿“)⑶人+
11、x=5(儿=2)⑷儿厂曾3(y0=5)考察这样一种情境:生产者的产出决策必须在实际销售之前做出——比如农业生产,种植必须比收获及产出的销售早一-个适当的吋期。我们假设t期的产出决策是基于当时流行价格pzo但因产出直到(t+i)期方能销售,所以,P冲不能确定Q只能确定Q。因此stsJ+1我们现在有了一个“滞后”供给函数Q=s(pz,),和形式为Qd=D(p)的需求函数和互作用时,使会产生一种有趣的动态价格模式。取线性形式的
12、(滞后)供给函数和(非滞后)的需求函数