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1、5.3离散时间：一阶差分方程在离散时间状态下，対动态分析的基本性质并无影响。我们的动态问题基本上仍是山已知的变量y随时间变化的模式，求出时间路径。但现在的变化模式应以差商△y/At來农示;Ay/At是导数dy/dt在离散时间情况下的对应物。t现在仅取整数值，这样，当我们将两个连续吋期的y值相比较时，必然有△t=l。因此，差商△y/Ai可以简化为△『，可称其为y的一阶差分。Ay”=诸如v-y=2或y=o.9y被称作差分方程。该差分方程（1）是线性的，因为没有任意一期的y项自乘至两次或更高次幕，也没有y项与另一期的y项相乘。（2）它是非齐次的，因为方程右边（其中不
2、含y项）为非零。（3）它是一-阶的，因为仅存在一阶差分△$,仅含有一期吋滞。用迭代法解差分方程。我们首先只涉及一阶差分方程的情况。因此，差分方程仅描述两个连续时期间的y的变化模式。一旦这样的变化模式给定，口初始值yO给定，则山方程求出yl便没有问题。类似地,一日-求得yl,则通过重复应用（迭代）差分方程所设定的变化模式，马上就可以得到y2,等等。这样，迭代的结果便使我们得以导出时间路径。例：求差分方程y—y=2丿/+1•/I解：山此方程我们可以得出：乂=儿+2北=X+2=（儿+2）+2=儿+2（2）卩广仏+2=卜°+2（2）］+2=儿+3（2）y=y+t（2）
3、=15+1（2）上面的方程给出了任意吋期的y值（包括起始吋期t=0的y值）；因此，它构成了方程的解。例：解差分方程△”=-（）或y
4、=0.9y。解：通过迭代，我们有A"儿儿=°・9必=0.9(0.9儿)=(0.9)乜儿=0.9北=o.9[(O.9)2y0]=(0.9)3儿y=(°・9)M一般方法对一阶差分方程y=c,其中a,c为常数，其通解将山两部分的和纽•成，特别积儿+iJt分y〃（完备非齐次方程的任意解）以及余函数（原方程简化方程的通解）V部分仍农示y的瞬时均衡水平，y部分表示时间路径与均衡的偏差。y与y的和构丿p丿C丿P丿C成了差分方程的通解。向以前一样
5、，要很到定解，则需要知道初始备件。W：先求余函数。原方程的简化方程为X,+dy=o山例题提示可用北=丰0）作为试探解。带入原方程可得：Ay+aAy=0,消去非零因子可解得b=a,所以余函数可写成:yc=A（-a）对于特别积分y选择最简单的當数形式y=k进行试探，则y=k,伏I此带入原來的•/I）•/t•//+!完备非齐次方程有k+ak=c^k=^—,所以特别积分可以写作V1+d丿P当a=l时，就应该选择y”二好作为试探解。这时方程为:%+】）+曲）,因此儿皿将余函数和特别积分加在•起可得到两种形式的通解：莎+总（"-啲情况）y=A（—q）+cl=A+ct（a
6、=-1的怙况）再带入初始值可得Xr一亡）（3+F宀啲情况）yt=儿+ct（a=-1的情况）例：解…阶淤分方程y由-5必=1（儿=右）解为：必=2⑸弓均衡的动态稳定性在连续时间情况下，均衡的动态稳定性取决于余函数中的人幺"项。在离散时间分析中，余函数中的4//则起着同样的作用。均衡是否是动态稳定的问题也就是当8时余函数是否趋于零的问题。从根本上看，我们必须分析当［尢限增大吋4/；项的路径。显然，b值（指数项的底）在这方而具有关键作用。我们首先抛开系数A（假设A=1），单独考察b的含义。我们将b的可能值域分成7个不同的区域，按照b值的递减顺序，列在下图中。在每个不
7、同的区域，指数式//产生了不同的时间路径。不同时期的b1值江域b值"'的值-t=0r=1t=2t=3t=4…I6>1(
8、6
9、>1)例如（2），12481611b=1(b11111IIIo1)例如（-2）”1-24_816b(fiA区域枳的圆形IV000Hi>VII>HI>v——>oD上面讨论的实质可通过如下一艘陈述来表达:■茫;］则F的时间
10、路径将是菲振荡的振荡的作业：解下列差分方程的解，并判断时间路径的解是否是振荡口收敛的。⑴儿厂壮=6（儿=1）⑵x+,+2X=9（儿“）⑶人+
11、x=5（儿=2）⑷儿厂曾3（y0=5）考察这样一种情境：生产者的产出决策必须在实际销售之前做出——比如农业生产，种植必须比收获及产出的销售早一-个适当的吋期。我们假设t期的产出决策是基于当时流行价格pzo但因产出直到（t+i）期方能销售，所以，P冲不能确定Q只能确定Q。因此stsJ+1我们现在有了一个“滞后”供给函数Q=s（pz,）,和形式为Qd=D（p）的需求函数和互作用时，使会产生一种有趣的动态价格模式。取线性形式的
12、（滞后）供给函数和（非滞后）的需求函数
