高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念讲义新人教A版.docx

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1、1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率＝.若函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，则函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率是＝.2．瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数L，则常数L称为函数f(x)在x0的瞬时变化率，记作＝L.3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x

2、)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

3、x＝x0.即f′(x0)＝.简言之，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．导数概念的理解(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.(2)若f′(x0)＝存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值．(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝limx→x0与概念中的f′(x0)＝意义相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)(2)瞬时变

4、化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×2．做一做(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________．(2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．(3)函数y＝f(x)＝在x＝－1处的导数可表示为________．答案　(1)2　(2)2　(3)f′(－1)或y′

5、x＝－1探究　　求函数的平均变化率例1　求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx

6、]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]　函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.[结论探究]　在本例中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．[解]　由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.

7、5；当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5.所以k1

8、)，则＝(　　)A．4B．4ΔxC．4＋ΔxD．Δx(2)求y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率________．答案　(1)C　(2)解析　(1)∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，∴＝＝4＋Δx.(2)∵Δy＝－，∴y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝.探究　　求平均速度与瞬时速度例2　若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝求：(1)物体在t∈[3,5]上的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[解]　(1)因为物体在t∈[3,5]上的时间变化

9、量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt－18，所以物体在t＝0处的瞬时变化率为＝(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12，所以物体在t＝1处瞬时变化率为＝(3Δt－12)＝－12，

10、即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.【跟踪训练2】　已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的函数为s＝2t2＋3(位移单位：cm，时间单位：s)