2018年秋高中数学1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教a版

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1、1.1　变化率与导数1.1.1　变化率问题1.1.2导数的概念学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[自主预习·探新知]1．函数的平均变化率(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．(2)平均变化

2、率的几何意义设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图111所示．图111思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示]Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限即＝.3．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x

3、0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′

4、x＝x0，即f′(x0)＝.[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)提示：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的

5、改变量Δy为(　　)【导学号：31062000】A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)D　[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是(　　)A．4　　　B．4.1C．0.41　　　D．－1.1B　[＝＝＝＝4.1，故选B.]4．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．[解析]　∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是＝＝＝(2＋Δx)＝2.[答案]　25．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于_______

6、_．[解析]　f′(6)＝＝＝0.[答案]　0[合作探究·攻重难]求函数的平均变化率　已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.【导学号：31062001】[解]　(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.[规律方法]　1.求函数平均

7、变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率＝.2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式.[跟踪训练]1．如图112，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　)图112A．1　　　B．－1C．2D．－2B　[平均变化率为＝－1.故选B.]2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　)【导学号：31062002】A．4B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2ΔxD　[＝＝4＋2Δx.故选

8、D.]求瞬时速度[探究问题]1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．[思路探究]　―→[解]　∵＝＝＝3＋Δt，∴＝(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率

9、为3.即物