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时间:2019-04-16
《2018年秋高中数学1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念学习目标:1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点、难点)4.理解函数的平均变化率,瞬时变化率及导数的概念.(易混点)[自主预习·探新知]1.函数的平均变化率(1)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为=,其中Δx=x2-x1是相对于x1的一个“增量”,Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”.(2)平均变化
2、率的几何意义设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x)的平均变化率==为割线AB的斜率,如图111所示.图111思考:Δx,Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?[提示]Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率可正、可负、可为零.2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.(2)函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限即=.3.导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)在x=x
3、0处的瞬时变化率,记作f′(x0)或y′
4、x=x0,即f′(x0)=.[基础自测]1.思考辨析(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( )(3)在导数的定义中,Δx,Δy都不可能为零.( )提示:(1)由导数的定义知,函数在x=x0处的导数只与x0有关,故正确.(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量,故错误.(3)在导数的定义中,Δy可以为零,故错误.[答案] (1)√ (2)× (3)×2.函数y=f(x),自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的
5、改变量Δy为( )【导学号:31062000】A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)D [Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故选D.]3.若一质点按规律s=8+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )A.4 B.4.1C.0.41 D.-1.1B [====4.1,故选B.]4.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是________.[解析] ∵f(x)=x2.∴在x=1处的瞬时变化率是===(2+Δx)=2.[答案] 25.函数f(x)=2在x=6处的导数等于_______
6、_.[解析] f′(6)===0.[答案] 0[合作探究·攻重难]求函数的平均变化率 已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):(1)从0.1到0.2的平均变化率;(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.【导学号:31062001】[解] (1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为=0.9.(2)f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3x+5)=3x+6x0Δx+3(Δx)2+5-3x-5=6x0Δx+3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.[规律方法] 1.求函数平均
7、变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1;第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);第三步,求平均变化率=.2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率,可用的形式.[跟踪训练]1.如图112,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于( )图112A.1 B.-1C.2D.-2B [平均变化率为=-1.故选B.]2.已知函数y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则的值为( )【导学号:31062002】A.4B.4xC.4+2Δx2D.4+2ΔxD [==4+2Δx.故选
8、D.]求瞬时速度[探究问题]1.物体的路程s与时间t的关系是s(t)=5t2,如何计算物体在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度?提示:Δs=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,==10+5Δt.2.当Δt趋近于0时,探究1中的平均速度趋近于多少?怎样理解这一速度?提示:当Δt趋近于0时,趋近于10,这时的平均速度即为当t=1时的瞬时速度. 某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.[思路探究] ―→[解] ∵===3+Δt,∴=(3+Δt)=3.∴物体在t=1处的瞬时变化率
9、为3.即物
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