1.1.1-1.1.2变化率与导数

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1、章头图、引言学习:微积分的创始人————牛顿，莱布尼兹导数的产生1、由s=f(t)求速度和加速度。2、求已知曲线的切线。导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、GDP、CPI增长率等等。积分的的作用：可以求平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生活生产科研等很多领域都有广泛应用。微积分的创立是数学史上划时代的里程碑。1.1.1-1.1.2变化率与导数问题1【气球膨胀率】一、变化率问题问题2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是探究活动气球

2、的平均膨胀率，跳水运动员的平均速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率【平均变化率的几何意义】【点拨】求函数f(x)的平均变化率的步骤是：(1)根据x1和x2值写出自变量的增量Δx；(2)由Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)计算函数增量；问题：1、运动员在0~0.5秒这段时间是静止的吗？2、你认为用平均速度描述运动员状态有什么问题吗？3、你能求出t=2时的速度吗？能否从平均速度这个角度出发去求瞬时速度用右式表示逼近思想体现了什么数学思想？问题：函数y=

3、f(x)在点x=x0处的瞬时变化率怎样表示？二、导数的概念一般地，函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求平均变化率:；．（2）取极限，得导数:即：一差、二化、三极限例1、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为计算第2h原油温度的瞬时变化

4、率，并说明它们的意义。【变式训练】(1)函数f(x)在x1，x2处有定义；(2)x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零．2．根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；*3．对导数概念的理解某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义：思考：设函数f(x)在点x0处可导，试

5、求下列各极限的值．[分析]给出某抽象函数在某点x0处可导的条件，求另一抽象函数在某点x0处的导数，或求另一抽象函数在某点x0处的极限．[点拨]在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对应的形式．利用函数f(x)在x＝x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．数学思想：体会“以直代曲，以不变应万变，逼近思想”.1、已知自由落体的运动方程为s=g

6、t2，求:(1)落体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度(g=10m/s2)。2、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。作业：P10A组3；4课下思考：P10A组1;2；5课堂练习：谢谢大家再见结束