全国通用版2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教A版选修2

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1、1．1.1　变化率问题1．1.2　导数的概念学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一　函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数

2、值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案　对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．梳理　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．知识点二　瞬时速度思考1　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．答案　

3、Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.思考2　当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？答案　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．梳理　瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝＝.知识点三　函数在某点处的导数函数y＝f(x

4、)在x＝x0处的瞬时变化率＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　×　)2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　)3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　√　)类型一　函数的平均变化率例1　求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？考点　变化问题与变化率题点　变化率大小的比较解　在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变

5、化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.当Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k1

6、上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．考点　平均变化率题点　函数的平均变化率答案　(1)Δx　(2)　解析　(1)＝＝＝Δx.(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.例2　过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．考点　平均变化率题点　平均变化率的应用解　割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.

7、∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.反思与感悟　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即＝＝.跟踪训练2　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)A．v甲>v乙B．v甲

8、定考点　平均变化率题点　平均变化率的应用答案　B解析　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化