高中数学第二章向量的坐标表示和空间向量基本定理3.13.2空间向量基本定理课时跟踪训练北师大版.docx

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1、空间向量基本定理[A组　基础巩固]1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)A．a　　　　　　　　　B．bC．a＋2bD．a＋2c解析：只有a＋2c与p，q不共面，故可以与p，q构成一个基底．答案：D2．以下四个命题中正确的是(　　)A．用三个向量可表示空间中的任何一个向量B．若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底解析：使用排除法．因为用三个不共面的向量可表示空间中的任何一个向量，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一

2、定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间的一个基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确．故选B.答案：B3．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)解析：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．答案：A4.如图，已知正方体ABC

3、DA′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则(　　)A．x＝2，y＝1，z＝B．x＝2，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝1D．x＝，y＝，z＝解析：＝＋＝＋(＋)＝2a＋b＋c.答案：A5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为(　　)A．－B.C．－D.解析：∵正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，∴

4、

5、＝，

6、

7、＝，

8、

9、＝.∴△AB1C是等边三角形．∴在上的投影为

10、

11、cos〈，〉＝cos60°＝.答案：B6.如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝_

12、_________.解析：＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.答案：7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，则向量在向量上的投影为________．解析：在上的投影为

13、

14、cos〈，1〉，而

15、

16、＝＝2，在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝＝，∴

17、

18、cos〈，〉＝2.答案：28．设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，若存在实数λ，μ，v，使a4＝λa1＋μa2＋va3，则λ，μ，v的值分别为________．解析：由题意得3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2

19、i＋j－3k)，由空间向量基本定理可知，由同一个基底表示的同一个向量是唯一的，∴，解得.答案：－2,1，－39．已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一个基底．若向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，求p在基底a＋b，a－b，c下的坐标．解析：依题意知，p＝a＋2b＋3c.设p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，即p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又p＝a＋2b＋3c，∴解得∴p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(，－，3)．10．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA

20、⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分成定比1，试用向量、、表示向量.解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，AC，则＝－.由题意易知＝＝＝－，＝－＝－＝，＝－＝＋－，所以＝－－(＋－)＝－－＋.[B组　能力提升]1．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是(　　)A．1B.C.D.解析：根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，知满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACDA1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1BB1

21、C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥AA1C1D1内，其体积是××1×1×1＝.答案：D2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则在上的投影是________．解析：在上的投影为

22、

23、cos〈，〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝＝＝＝，又

24、

25、＝.∴

26、

27、cos〈·〉＝×＝－2.答案：－23．在三棱锥OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点