运用极坐标方程处理解几问题的类型.doc

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1、运用极坐标方程处理解几问题的类型内容提要：如何运用极坐标方程解决解析几何中的点共线、点的轨迹方程、线段长度、圆锥曲线上存在轴对称点的问题。关键词：极坐标方程处理解几问题类型极坐标在解几中尽管不作为重点内容，但纵观历届高考有关解几试题，若运用极坐标方程来处理这类问题，则解答过程简洁，运算量小，因此本文给出能用极坐标系处理解几问题的几种类型，以供参考。一、点共线问题例1，过抛物线＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，，交抛物线的准线于C，求证：直线AC过原点。（2001年全国高考试题）证明：以抛物线的焦点F为极点，OX为极轴建立极坐标系，

2、则抛物线的极坐标方程为：故设A、B两点的极坐标分别为则有：连结AO并延长交BC于C′∵BC//X轴∴，即∴又由抛物线的定义可知，，且显然C，C′均在B左侧，∴C与C′重合故直线AC过原点。二、求点的轨迹方程例2：已知椭圆，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足

3、OQ

4、·

5、OP

6、=

7、OR

8、2，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线（95年全国高考试题）解：从直角坐标系原点O为极点，OX轴正向为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：直线的极坐标方程为：设P、R、Q的极坐标分别为：由题设：均大于零。由于

9、点R、P分别在椭圆和直线上，故：①②又

10、OQ

11、·

12、OP

13、=

14、OR

15、2，即∴③由①②③得点Q的极坐标方程为：即：整理得：（x,y不同时为零）所以点Q的轨迹是以（1,1）为中心，长短轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆去掉原点。三、线段长度问题例3：双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，

16、PQ

17、=4，求双曲线方程。（91年全国高考试题）解：以直角坐标系原点为极点，OX正方向为极轴，建立极坐标系。依题意：设双曲线方程为，则其极坐标方程为：，即由于OP⊥OQ，故设P、Q两点的极坐标分别

18、为有：∴，即设直线PQ的倾角为，则有∴又S△POQ=

19、PQ

20、·

21、OF

22、

23、PQ

24、·c·且S△POQ=

25、OP

26、·

27、OQ

28、=∴=6c2且于是∴整理得：，又e＞1，故∴两渐近线在OX方向上的夹角为120°故P、Q两点在双曲线两支上，不妨设P在左支上，将此极点平移至双曲线右焦点F处，此时双曲线方程为，P、Q两点的极坐标分别为∵

29、PQ

30、=

31、

32、EP

33、－

34、FQ

35、

36、=

37、－

38、=

39、

40、=P∴又，故双曲线的直角坐标方程为：四、圆锥曲线上存在轴对称点问题例4、k为何值时，直线：y－1=k（x－1）垂直平分抛物线的弦。解：以（1，1）为极点平行于OX轴正方向的射线为极

41、轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程为（为的倾角，k=tg）抛物线的极坐标方程为：设P1P2为抛物线的弦，且被平分，则其极坐标分别为且有：①②①－②得：·即：·∴①+②得：∴＜即＜∴＜∴k2＜2＜0即：＜0∴－2＜k＜0为所求范围。