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时间:2020-02-27
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1、高一数学期末复习专题一——平面向量一、知识梳理1.向量的有关概念(1)向量:既有__________又有________的量称为向量,向量的大小称为向量的__________(或称为模).(2)零向量:__________的向量称为零向量,其方向是______的.(3)单位向量:长度等于______________的向量.(4)平行向量:方向________或________的________向量;平行向量又称为________,任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.规定:0与任一向量__________.(5)相等向量:长度_
2、___________且方向__________的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法__________法则__________法则(1)交换律:a+b=__________;(2)结合律:(a+b)+c=______.减法求两个向量差的运算,叫做向量的减法__________法则a-b=a+(-b)3.向量数乘运算及其几何意义(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作____________,它的长度与方向规定如下:①
3、λa
4、=__________;②当λ>0时
5、,λa与a的方向______;当λ<0时,λa与a的方向______;当a=0时,λa=0;当λ=0时,λa=____.(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则①λ(μa)=__________.(结合律)②(λ+μ)a=____________.(第一分配律)③λ(a+b)=______________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理:______________.4.平面向量基本定理如果e1,e2是同一个平面内的两个__________向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=_________
6、_______________.其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的__________.(1)e1,e2均为非零向量,必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底.(2)基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一;λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量.5.平面向量的坐标运算在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量a,有且只有一对有序实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y)
7、.(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=______________.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=______________;
8、
9、=__________.(3)若a=(x,y),则λa=__________.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔_____________________________.6.向量的数量积:(1)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=
10、a
11、
12、b
13、cos
14、θ.若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=__________.(2)向量的夹角:如图,两个非零向量a和b,=a,=b,则______为向量a与b的夹角.两向量夹角的范围为[0,π].当θ=0时,a与b同向,当________时,a与b反向.(3)数量积的运算法则:(1)a·b=________________(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=____________;(3)(a+b)·c=____________.典型例题例1判断下列命题是否正确,并说明理由:(1)若
15、a
16、=
17、b
18、,则a=b;(2)若
19、a=b,则
20、a
21、=
22、b
23、;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)若a∥b,b∥c,则a∥c;(5)若
24、a
25、=0,则a=0;(6)若λ=0,则λa=0;(7)若=,则ABCD是平行四边形.例2设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.巩固练习:1.下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,且a+b是非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一方向相同;②△ABC中,必有++=0;③++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
26、;④若a,b均为非零向量,则
27、a+b
28、与
29、a
30、+
31、b
32、一定相等.其中正确的命题是__________.2.设向量a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ=__________.3.如图,在△ABC中,在AC上取点N,使得AN=AC
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