向量期末复习教师版.doc

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1、高一数学期末复习专题一——平面向量一、知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有__________又有________的量称为向量，向量的大小称为向量的__________(或称为模)．(2)零向量：__________的向量称为零向量，其方向是______的．(3)单位向量：长度等于______________的向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又称为________，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．规定：0与任一向量__________

2、．(5)相等向量：长度____________且方向__________的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法__________法则__________法则(1)交换律：a＋b＝__________；(2)结合律：(a＋b)＋c＝______.减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法__________法则a－b＝a＋(－b)3．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下

3、：①

4、λa

5、＝__________；②当λ＞0时，λa与a的方向______；当λ＜0时，λa与a的方向______；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝____.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝__________.(结合律)②(λ＋μ)a＝____________.(第一分配律)③λ(a＋b)＝______________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：______________．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一个平面内的两个__________向量，那么对于这一

6、平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________________________.其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的__________．(1)e1，e2均为非零向量，必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底．(2)基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量．5．平面向量的坐标运算在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a，有且只有一对有序实数x

7、，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝______________.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______________；

8、

9、＝__________.(3)若a＝(x，y)，则λa＝__________.（4）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔_____________________________.6．向量的数量积：（1）已知两个非零向量a与b，

10、它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

11、a

12、

13、b

14、cosθ.若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________.(2)向量的夹角：如图，两个非零向量a和b，＝a，＝b，则______为向量a与b的夹角．两向量夹角的范围为[0，π]．当θ＝0时，a与b同向，当________时，a与b反向．(3)数量积的运算法则：(1)a·b＝________________(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_________

15、___；(3)(a＋b)·c＝____________.例1判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若

16、a

17、＝

18、b

19、，则a＝b；(2)若a＝b，则

20、a

21、＝

22、b

23、；(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；(4)若a∥b，b∥c，则a∥c；(5)若

24、a

25、＝0，则a＝0；(6)若λ＝0，则λa＝0；(7)若＝，则ABCD是平行四边形．解：(1)不正确，因为a与b的方向不一定相同．[来源:Z

26、xx

27、k.Com](2)正确，因为相等向量是模相等且方向相同的向量．(3)正确，因为a＝b，所以a与b的长度相等且方向相同；因为b

28、＝c，所以b与c的长度相等且方向相同；所以a与c的长度相等且方向相同，所以a＝c.(4)不正确，因为当b＝0时，a与c不一定平行．(5)正确，因为长度为零的向量就是零向量．(6)不正确，因为当λ＝0时，λa＝0.(7)不正确，因为A，B，C，D可能四点共线．例2设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解(1