抛物线及标准方程典型例题.doc

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1、典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1)(2)分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式,再对a进行讨论,确定是哪一种后,求p及焦点坐标与准线方程.解:(1),∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:(2)原抛物线方程为:,①当时,,抛物线开口向右,∴焦点坐标是,准线方程是:.②当时,,抛物线开口向左,∴焦点坐标是,准线方程是:.综合上述,当时,抛物线的焦点坐标为,准线方程是:.典型例题二例2若直线与抛物线交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的

2、方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求k.解法一:设、,则由:可得:.∵直线与抛物线相交,且,则.∵AB中点横坐标为:,解得:或(舍去).故所求直线方程为:.解法二:设、,则有.两式作差解:,即.,故或(舍去).则所求直线方程为:.典型例题三例3求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析:可设抛物线方程为.如图所示,只须证明,则以AB为直径的圆,必与抛物线准线相切.证明:作于于.M为AB中点,作于,则由抛物线的定义可知:在直角梯形中:,故以AB为直径的圆,必与抛物线的准线相切.说明:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲

3、线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4(1)设抛物线被直线截得的弦长为,求k值.(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.分析:(1)题可利用弦长公式求k,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求P点坐标.解:(1)由得:设直线与抛物线交于与两点.则有:,即(2),底边长为,∴三角形高∵点P在x轴上,∴设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h,即或,即所求P点坐标是(-1,0)或(5,0).典型例题五例5已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过A且垂直于l的直线,设N为l上任一点,AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对

4、称点为P,求证P的轨迹为抛物线.分析:要证P的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义,二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A为定点,l为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明且即可.证明:如图所示,连结PA、PN、NB.由已知条件可知:PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.∴AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有.则P点符合抛物线上点的条件:到定点A的距离与到定直线的距离相等,所以P点的轨迹为抛物线.典型例题六例6若线段为抛物线的一条焦点弦,F为C的焦点,求证:.分析:此题证的是距离问题,如果把它们用两点间的距离表示出来,

5、其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.证法一:,若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时,则有,.若线段所在直线斜率存在时,设为k,则此直线为:,且设.由得:①②根据抛物线定义有:则请将①②代入并化简得:证法二:如图所示,设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、,且不妨设,又设点在、上的射影分别是A、B点,由抛物线定义知,又∽,即故原命题成立.典型例题七例7设抛物线方程为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,求证:焦点弦长为.分析:此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一:抛物线的焦点为,过焦点的弦

6、AB所在的直线方程为:由方程组消去y得:设,则又即证法二:如图所示,分别作、垂直于准线l.由抛物线定义有:于是可得出:故原命题成立.典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点,它的一个焦点为F(1,0),对应于该焦点的准线为,过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超过8,且直线AB与椭圆相交于不同的两点,求(1)AB的倾斜角的取值范围.(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点,求CD中点M的轨迹方程.分析:由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线,AB为抛物线的焦点弦,设其斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点,可求出k的取值范围,从而可得的取值范围,求CD中点M的轨迹方程时,可设出M的坐

7、标,利用韦达定理化简即可.解:(1)由已知得.故P到的距离,从而∴曲线C是抛物线,其方程为.设直线AB的斜率为k,若k不存在,则直线AB与无交点.∴k存在.设AB的方程为由可得:设A、B坐标分别为、,则:∵弦AB的长度不超过8,即由得:∵AB与椭圆相交于不同的两点,由和可得:或故或又,∴所求的取值范围是:或(2)设CD中点、、由得:则即.化简得:∴所求轨迹方程为:典型例题九例9 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动,求的中点到轴的距离的最小值,

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