椭圆标准方程典型例题及练习题

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1、椭圆标准方程典型例题例1已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而．∴所求椭圆方程为或．例2已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．①由椭圆定义知：②，则得．故．例3已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆

2、心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，8即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例4已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有

3、关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：，⑦，将③④平方并整理得8，⑧，，⑨将⑧⑨代入⑦得：，⑩再将代入⑩式得：，即．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例5已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：

4、（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得：．解得．方程为．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例6以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆的焦点为，．8点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标

5、为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴：，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．例7　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得即所以，．故所求的椭圆方程为．例8已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从

6、而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为，设，，则，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以．8(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．再根据焦半径，，从而求出．例9　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　　C．8　　D．解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即，利用这个等式可以解

7、决椭圆上的点与焦点的有关距离例10已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．解：设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．∵的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得　　①。∴．于是，，即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得．　②将式②代入式①得　　③∵，是椭圆上的两点，∴．解得．8例11在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设．则∴即∴得∴所求椭圆方程为例12已知是直线被椭圆所截得的线段的中点