第六讲：函数的综合应用.doc

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1、第六讲：函数的综合应用【例题精讲】【例1】⑴函数满足：对任意的，恒有，当时，，则．⑵若函数的最大值是正整数，则=．⑶定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是．⑷若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是．【例2】已知函数（为实常数），（1）若，求的单调区间；（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．【例3】某企业实行裁员增效，已知现有员工人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每年可多创收万元，但每年需付

2、给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工人数的，设该企业裁员人后纯收益为万元。（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）．【例4】已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.【课堂演练】1.已知函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则．2.已知函数的定义域为，值域为，若区间的长度为，则的最小值为．3.函数的图像

3、先作关于轴对称得到图像，再将向右平移一个单位得到图像，则的解析式为．4.函数的零点有个．5.已知函数在是单调递减函数，则实数的取值范围是.6.已知函数，若，则实数的取值范围是．7.已知函数．（1）判断并证明的奇偶性；（2）求证：；（3）已知，且，，求的值．8．已知二次函数=，满足（1）求的解析式；（2）求函数的零点，并写出<0时，x的取值集合；（3）设有最大值14，试求的值。第六讲：函数的综合应用【例1】⑴函数满足：对任意的，恒有，当时，，则．；2．定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是．3．若函数的

4、最大值是正整数，则=▲．⑷若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是．4．设函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是．【例2】已知函数（为实常数），（1）若，求的单调区间；（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．解析：(1),∴的单调增区间为()，(-,0)的单调减区间为(-)，()(2)由于，当∈[1,2]时，10即20即30即时综上可得(3)在区间[1,2]上任取、，且则(*)∵∴∴(*

5、)可转化为对任意、即10当20由得解得30得所以实数的取值范围是【例3】某企业实行裁员增效，已知现有员工人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每年可多创收万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工人数的，设该企业裁员人后纯收益为万元。（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）．解：（1）由题意可得．因为，所以，即的

6、取值范围是中的自然数．（2）因为且，所以，若为偶数，当时，取最大值；当为奇数，当或时，取最大值。因为要尽可能少裁人，所以。综上所述，当为偶数时，裁员人；当为奇数时，裁员人．【例4】（本小题满分16分）已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.解：（1）∵是偶函数，∴对任意，恒成立2分即：恒成立，∴5分（2）由于，所以定义域为，也就是满足7分∵函数与的图象有且只有一个交点，∴方程在上只有一解即：方程在上只有一解9分令则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解10分①当时

7、，解得，不合题意；11分②当时，记，其图象的对称轴∴函数在上递减，而∴方程（*）在无解13分③当时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时的范围为15分综上所述，所求的取值范围为16分【课堂演练】1.已知函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则．；2.已知函数的定义域为，值域为，若区间的长度为，则的最小值为．；3.函数的图像先作关于轴对称得到图像，再将向右平移一个单位得到图像，则的解析式为．4.函数的零点有个．5.已知函数在是单调递减函数，则实数的取值范围是.6.已知函数，若，则实数的取值范围是．7.

8、已知函数．（1）判断并证明的奇偶性；（2）求证：；（3）已知，且，，求的值．解：（1）为奇函数．因为所以，定义域为，所以定义域关于原点对称，又，所以为奇函数．（2）因为，，所以．（3）因为，所以，又，所以，由此可得：．8．已知二次函数=，满足（1）求的解析式；（2）求函数的零点，并写出<0时，x的取值集合；（3）设有