第二讲：函数的性质.doc

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1、第二讲：函数的性质【例1】⑴若函数为偶函数，则实数．⑵下列函数中既是偶函数又在单调递增的函数是　　　　　（填序号）．①　②　　③　　④⑶已知函数若互不相等，且，则取值范围是　　　　　　．⑷已知函数满足：，，则　　　　　　　．【例2】已知函数自变量的取值区间为，若其值域区间也为，则称区间为的保值区间．⑴求函数形如的保值区间；⑵函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【例3】已知是上的单调函数，且对任意的实数，有恒成立，若．⑴试判断在上的单调性，并说明理由；⑵解关于的不等式：，其中且．【例4】已知函数．⑴当时，求的最小值；⑵若对于任意的

2、，恒成立，求实数的取值范围．【课堂演练】1．若函数在上是增函数，则的取值范围是　　　　　．2．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是　　　　　　　．3．已知是二次函数，且是偶函数，又，在上取最大值３，最小值１，则的取值范围是　　　　　　．4．设函数是偶函数，则实数的值为　　　　　．5．设，则不等式成立的充要条件是　　　　　．（注：填写的取值范围）6．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是　　　　　　　．7．对于函数，若存在使，则称为的不动点．⑴当时，求的不动点．⑵对任意的实数，函数能否恒有

3、两个不动点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．8．设在上的最小值为．⑴求的表达式，并作出的图象；⑵求的最大值，并指出的单调区间．第二讲：函数的性质【例1】⑴若函数为偶函数，则实数．⑵下列函数中既是偶函数又在单调递增的函数是　　　　　（填序号）．②①　②　　③　　④⑶已知函数若互不相等，且，则取值范围是　　　　　　．⑷已知函数满足：，，则　　　　　　　．【例2】已知函数自变量的取值区间为，若其值域区间也为，则称区间为的保值区间．⑴求函数形如的保值区间；⑵函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．解：⑴若，则，矛盾；若，则

4、，故或．则的保值区间为或．⑵若存在，则，①当时，在上为减函数，故即解得，与矛盾．②当时，在上为增函数，故即所以是方程的两实根，但此方程无实数解．③当时，由于，故此时不存在满足条件的实数．综上所述，不存在形如的保值区间．【例3】已知是上的单调函数，且对任意的实数，有恒成立，若．⑴试判断在上的单调性，并说明理由；⑵解关于的不等式：，其中且．解：⑴为上的减函数．理由如下：是上的奇函数，．又是上的单调函数，，，为上的减函数．⑵由，得，结合⑴得，整理得．当时，；当时，；当时，．【例4】已知函数．⑴当时，求的最小值；⑵若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．解：⑴当时，，可以

5、证明在上单调递增，则．⑵．若，则在上单调递增，则，恒成立．若，则在上单调递增，则，此时无解．若，则由，得无解．综上所述，．【课堂演练】1．若函数在上是增函数，则的取值范围是　　　　　．2．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是　　　　　　　．3．已知是二次函数，且是偶函数，又，在上取最大值３，最小值１，则的取值范围是　　　　　　．4．设函数是偶函数，则实数的值为　　　　　．5．设，则不等式成立的充要条件是　　　　　．（注：填写的取值范围）6．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是　　　　　

6、　　．，，结合二次函数的图象易得．7．对于函数，若存在使，则称为的不动点．⑴当时，求的不动点．⑵对任意的实数，函数能否恒有两个不动点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）的不动点为．⑵存在，且0<<1理由如下：由，得有两个不动点，所以>0对恒成立，即>0对恒成立．所以由>0，得>0，解得0<<1．8．设在上的最小值为．⑴求的表达式，并作出的图象；⑵求的最大值，并指出的单调区间．解：⑴⑵，增区间为，减区间为．3．定义在上的函数满足：．当时，，下列四个不等关系：，，，，其中正确的个数是　　　　　．