2019_2020学年新教材高中数学习题课（四）平面向量初步新人教B版必修第二册.docx

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1、习题课（四）平面向量初步一、选择题1．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)A．＝－＋　B．＝－C．＝－D．＝－＋解析：选D　依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D.2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A.B.C.D.解析：选D　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(

2、　　)A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：选A　由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.4．已知

3、

4、＝1，

5、

6、＝，⊥，点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则等于(　　)A.B．3C.D.解析：选B　如图，由已知

7、

8、＝1，

9、

10、＝，⊥，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝，CD＝，所以＝，＝，即＝＋，所以＝3.

11、5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，

12、

13、＝2，则

14、＋

15、＝(　　)A.B．2C.D．2解析：选B　如图，设菱形对角线交点为O，∵＋＝＋＝，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，

16、

17、＝＝，∴

18、

19、＝2

20、

21、＝2.6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　)A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点解析：选D　∵＝－，∴＋＋＝－，即2＋＝0，即＝2，故＝，∴P是A

22、C边的一个三等分点．二、填空题7．若

23、

24、＝2

25、

26、，且＝λ，则λ＝________.解析：①当点C在线段的延长线上时，如图．则＝2，则λ＝2.②当点C在线段上时，如图．则＝－2，即λ＝－2.综上，λ＝±2.答案：±28．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.解析：由解得故e1＋e2＝＋＝a＋b.答案：　－9.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝______.解析：

27、∵＝3，∴＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，∴m－n＝－－＝－2.答案：－2三、解答题10.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使

28、

29、＝

30、

31、，则a＋b＋c＝，且

32、

33、＝2.所以

34、a＋b＋c

35、＝2.(2)作＝，连接CF，则＋＝，而＝－＝a－b，所以a－b＋c＝＋＝，且

36、

37、＝2，所以

38、a－b＋c

39、＝2.11．如图，已知平行四边形ABCD的边B

40、C，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.解：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.由＋＝，＋＝，得①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，所以＝－e1＋e2.同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.12．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以＝，即

41、(a,0)＝(2,2－b)，解得故a＝2，b＝2.(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，由A，B，C三点共线，得∥，所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，因为a>0，b>0，所以2(a＋b)＝ab≤2，即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0.因为a>0，b>0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8.当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．