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1、*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束数量积向量积*混合积第七章一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为机动目录上页下页返回结束记作故2.性质为两个非零向量,则有机动目录上页下页返回结束3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动目录上页下页返回结束例1.证明三角形余弦定理证:则如图.设机动目录上页下页返回结束4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得机动目录上页下页返回结束例2
2、.已知三点AMB.解:则求故机动目录上页下页返回结束为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动目录上页下页返回结束二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力机动目录上页下页返回结束1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝机动目录上页下页返回结束2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律
3、(3)结合律(证明略)证明:机动目录上页下页返回结束4.向量积的坐标表示式设则机动目录上页下页返回结束向量积的行列式计算法(行列式计算见P339～P342)机动目录上页下页返回结束例4.已知三点角形ABC的面积解:如图所示,求三机动目录上页下页返回结束一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l上引进一个角速度向量使其在l上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径机动目录上页下页返回结束*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为
4、则其机动目录上页下页返回结束2.混合积的坐标表示设机动目录上页下页返回结束3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)机动目录上页下页返回结束例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动目录上页下页返回结束例7.证明四点共面.解:因故A,B,C,D四点共面.机动目录上页下页返回结束内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束混合积:2.向量关系:机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动目录上页下
5、页返回结束证:由三角形面积公式所以因机动目录上页下页返回结束作业P3103,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节目录上页下页返回结束备用题1.已知向量的夹角且解：机动目录上页下页返回结束在顶点为三角形中,求AC边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有机动目录上页下页返回结束
