《点积叉积》PPT课件

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1、五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式得两点间的距离公式:对两点与例6.已知两点和解:求=2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:思考：若,,是向量与三坐标面的夹角，２3.向量在轴上的投影(§7.2中简单介绍)例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例8.设点A位于第一卦限,解:已知作业P3003,5,13,14,15,18,19角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐

2、标为向径OA与x轴y轴的夹一、两向量的数量积二、两向量的向量积§8.2数量积向量积*混合积第七章简单介绍定义及计算.一、两向量的数量积1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).在物理学中,记作故2.性质为两个非零向量,则有=记作2.性质(1)向量在数轴上的投影(简介)x同理可定义向量在y,z轴上的投影(2)3.点积的运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;例1.证明三角形余弦定理证:则如图.设4.数量积的坐标表示!!!设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得例2.已知三点AMB.解:则求故为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设

3、均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量平面域→曲面域且曲面上每一点处的流速是非均匀的(大小方向均变化)?在第10章我们也能解决,这就是数学的魅力.二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩右图三角形面积S＝2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:(交换律不成立!!!)4.向量积的坐标表示式!!!设则向量积的行列式计

4、算法(行列式计算见附录1P339)例4.已知三点角形ABC的面积解:如图所示,求三*三、向量的混合积(简介)1.定义已知三向量称数量混合积.记作内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:思考与练习设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:作业P3103,4,6,7,9(1);(2),10,12预习§7.5备用题1.已知向量的夹角且解：2P337题1(4)(5)为单位向量,且解(4)则三式相加得:(4)向量则(5)已知且(5)=().=().同理则原式==36.363.证:在线段AB的一侧有一动点P,以PB,PA为边向外做正方形PBCD和PAEF,M为D,E的中点(如图).

5、证明:(1)PM⊥AB;(2)PM=AB.ABCDPEFM设垂直屏幕向外的单位向量为所以PM⊥AB;且PM=AB.备用题.证明(1)任意三角形△ABC的三条中线可构成△1;BCA证:(1)设△ABC三边的中点分别为D,E,F(如图)．FDE(2)△1的三条中线构成的三角形△2与△ABC相似,并求相似比．记则三条中线所以三条中线可构成三角形,记为△1机动目录上页下页返回结束(2)△1的三条中线构成的三角形△2与△ABC相似,并求相似比．(2)△1三条中线所以△2与△ABC相似,且相似比为．