考研数学概率论.ppt

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1、应用数学学院第一章第一节基本概念一、随机试验与事件I.随机试验1.随机试验把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可预知，则称此试验为随机试验，也简称为试验，记为E。注：以后所提到的试验均指随机试验。随机试验举例：E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几；E2:观察某城市某个月内交通事故发生的次数；E3:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命；E4:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小于200小时。对于随机试验,仅管在每次试验之前不能预知其试验

2、结果，但试验的所有可能结果所组成的集合却是已知的。若以Ωi表示试验Ei的样本空间,i=1,2,3,4,则◆E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，Ω1={1,2,3,4,5,6}；称试验所有可能结果所组成的集合为样本空间,记为Ω。2.样本空间样本空间的元素,即随机试验的单个结果称为样本点。E2:观察某城市某个月内交通事故发生次数，Ω2={0,1,2,…}；E3:对某只灯泡实验，观察其使用寿命，Ω3={t,t≥0}；E4:对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否小于200小时，Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于20

3、0小时}。II.随机事件把样本空间的任意一个子集称为一个随机事件,简称事件。常用大写字母A,B,C,…表示。特别地,如果事件只含一个试验结果(即样本空间的一个元素),则称该事件为基本事件。写出试验E1的样本空间Ω1={1,2,3,4,5,6}的下述子集合表示什么事件？指出哪些是基本事件。A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分别表示掷的结果为“一点”至“六点”,都是基本事件；B={2,4,6}━━表示掷的结果为“偶数点”，非基本事件；C={1,3,5,}━━表示“掷的结果为奇数点”，非基本事件；D={

4、4,5,6}━━表示“掷的结果为四点或四点以上”，非基本事件。例1：当结果A时,称事件A发生。注意：(1).由于样本空间Ω包含了所有的样本点,且是Ω自身的一个子集。故,在每次试验中Ω总是发生。因此,称Ω必然事件。(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空间Ω的一个子集,由于它在每次试验中肯定不发生，所以称为不可能事件。注意:只要做试验,就会产生一个结果,即样本空间Ω中就会有一个点(样本点)出现。二、事件的关系与运算I.集合与事件回忆:做试验E时,若A,则称事件A发生。集合A包含于集合B：若对

5、A,总有B，则称集合A包含于集合B，记成AB。事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B,记成AB。集合A与B的并或和：若C,当且仅当A或B,则称集合C为集合A与B的并或和,记成A∪B或A+B。事件A与B的并或和：若事件C发生，当且仅当事件A或C发生，则称事件C为事件A与B的并或和，记成A∪B或A+B。若AB,且BA，则称事件A与B相等，记成A=B。无穷多个事件A1,A2,…的和n个事件A1,A2,…,An的和C发生就是A1,A2,…，An中至少一个事件发生

6、。C发生就是A1,A2…中至少一个发生。集合A与集合B的交或积：若C，当且仅当A且B,则称集合C为集合A与B的交或积,记成A∩B或AB。事件A与B的积或交：若事件C发生，当且仅当事件A与B同时发生，则称事件C为事件A与B的积或交,记成A∩B或AB。特别地,当AB=Ø时,称A与B为互斥事件(或互不相容事件),简称A与B互斥。也就是说事件A与B不能同时发生。例1(续)A1={1},A2={2},于是A1A2=Ø。故A1与B2互斥；B={2,4,6},C={1,3,5},于是BC=Ø,故B与C也互斥。无穷

7、多个事件A1,A2,…的积n个事件A1,A2,…,An的积C发生就是A1,A2,…，An都发生。C发生就是A1,A2,…，都发生。.集合A与集合B的差：若C当且仅当A且B，则称集合C为集合A与B的差，记成A-B。事件A与B的差：若事件C发生当且仅当事件A发生且事件B不发生,则称事件C为事件A与B的差,记成A-B。特别地，称Ω-A为A的对立事件(或A的逆事件、补事件)等,记成A。例1(续)A1={1},B={2,4,6},于是A就是A不发生。交换律:A∪B=B∪AAB=BA结合律:A∪(B∪C)=(A

8、∪B)∪CA(BC)=(AB)C分配律:A(B∪C)=AB∪ACA∪(BC)=(A∪B)(A∪C)对偶律:II.事件的运算法则(与集合运算法则相同)还有常用不是A,B中至少有一个发生A,B都不发生对于多个随机事件,上述运算规则也成立A(A1∪A2∪…∪An)=(AA1)∪(AA2)∪…∪(AAn)小结本节首先介绍了随机试验、样本空间的基本概念，然后给出了随机事件的各种运算及运算法则。