考研数学概率论第二讲补充课件.ppt

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1、概率论与数理统计第二讲补充内容本讲主要问题一、二维随机变量二、边缘分布三、条件分布四、相互独立的随机变量1.二维随机变量的概念一、二维随机变量实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.说明定义设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量.由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机变量。如图SeX(e)Y(e

2、)注意事项三、二维随机变量2.二维离散型随机变量,...2,1,),,(=jiyxji定义若二维随机变量(X,Y)所有可能取到的不相同的数偶是有限对或无限可列对时,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.联合分布律:其分布律表:性质1有性质2例答案:例设随机变量X在1,2,3,4四个数中等可能地取值,另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.答案:由题意知,{X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4,且是等可能的;然后j取不大于i的正整数.由乘法公式求得(X,Y)的分布律.练习袋中有2只黑球、2只白球、3只红球,

3、在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到白球的只数.(1)求(X,Y)的分布律.(2)求概率答案:(1)X所有可能取的不同值为0,1,2;Y所有可能取的不同值为0,1,2.(X,Y)的分布律为001/21204/212/711/212/71/70210XY(2)三、二维随机变量3.二维连续型随机变量定义设(X,Y)是二维随机变量,如果存在定义在平面上的函数f(x,y),满足条件则称(X,Y)是连续型随机变量,而f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数或称为随机变量X和Y的联合概率密度函数.表示介于f(x,y)和xoy平

4、面之间的空间区域的全部体积等于1.说明答案:例答案:三、二维随机变量4.二维随机变量的分布函数定义几何解释(如图)说明(1)离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为(2)连续型随机变量(X,Y)的分布函数为例答案:1.离散型随机变量的边缘分布律二、边缘分布例1已知下列分布律求其边缘分布律.答案:2.连续型随机变量的边缘分布四、边缘分布边缘分布函数的定义例3设(X,Y)的概率密度为其中区域G如下图所示,求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度答案:-101P{X=u}3/163/163/81/161/161/8P{Y=v}1/41/41/23/41/

5、41-11-101P{M=u}-1101/42/41/4003/41/4P{N=v}1/41/41/21这两个二维随机变量的分布律是不相同的，但是却具有相同的边缘分布.联合分布边缘分布1.离散型随机变量的条件分布律三、条件分布为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.条件分布律具有分布律的以下特性：(1)P{X=xi

6、Y=yj}0;(2)例已知随机变量(X,Y)的分布律为1.0000.

7、0130.0320.0450.910P{X=i}0.0200.0010.0040.0050.01020.0800.0020.0080.0100.06010.9000.0100.0200.0300.8400P{Y=j}3210求(1)在X=1条件下Y的条件分布律;(2)在Y=0条件下X的条件分布律.答案:五、条件分布2.连续型随机变量的条件分布条件概率密度的定义为在条件Y=y下的X的条件概率密度.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y),若对固定的y,fY(y)>0,则称记做fX

8、Y(x

9、y).

10、即同理在条件X=x下的Y的条件概率密度条件分布函数的定义称为在条件Y=y下X的条件分布函数.记做P{Xx

11、Y=y},或FX

12、Y(x

13、y).即同理在条件X=x下Y的条件分布函数为思考答案:练习答案:又知边缘概率密度为四、相互独立的随机变量定义设X,Y是两个随机变量,若对于任意的a,b(a

14、得例答案: