（新课标）2020版高考数学总复习圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题练习文新人教A版.docx

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1、第2课时　圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题A组　基础题组1.已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则OM·ON的值为(　　)A.3B.4C.5D.与P的位置有关答案　A　依题意,设点P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),其中x02-4y02=4,则直线l的方程是x0x4-y0y=1,易知双曲线的两条渐近线方程为y=±12x.①当y0=0时,直线l的方程是x=2或x=-2.由x=2,x24-y2=0得x=2,y=±1,此时OM·ON=(2,-1)×(2,1)=4-1=3,同理可得,当直线l的方程是x=-2时,OM·ON=3.②当y

2、0≠0时,直线l的方程是y=14y0(x0x-4).由y=14y0(x0x-4),x24-y2=0得(4y02-x02)x2+8x0x-16=0(*),又x02-4y02=4,因此(*)是-4x2+8x0x-16=0,x2-2x0x+4=0,x1x2=4,OM·ON=x1x2+y1y2=x1x2-14x1x2=34x1x2=3.综上所述,OM·ON=3,选A.2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足FA+FB+FC=0,则1kAB+1kAC+1kBC=　　　　. 答案　0解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),Fp2,0,由FA

3、+FB+FC=0,得y1+y2+y3=0.易得kAB=y2-y1x2-x1=2py1+y2,同理kAC=2py1+y3,kBC=2py2+y3,所以1kAB+1kAC+1kBC=y1+y22p+y3+y12p+y2+y32p=0.3.已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且OA·OB=-16,求证:直线AB恒过定点.解析　(1)设P(x,y),则x2+(y-2)2=(y+1)+1⇒x2=8y.所以E的方程为x2=8y.(2)证明:易知直线AB的斜率存在,

4、设直线AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2).将直线AB的方程代入x2=8y中,得x2-8kx-8b=0,所以x1+x2=8k,x1x2=-8b.OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+x12x2264=-8b+b2=-16⇒b=4,所以直线AB恒过定点(0,4).4.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为35,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点且斜率为45的直线l交椭圆C于A,B两点.当m=0时,PA·PB=-412.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:

5、PA

6、2+

7、PB

8、2为定值.解析　(1)因为离心率为35,所以ba=45.当m=0时,l的方程为

9、y=45x,代入x2a2+y2b2=1并整理得x2=a22.设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),PA·PB=-x02-y02=-4125x02=-4125·a22.又因为PA·PB=-412,所以a2=25,b2=16,所以椭圆C的方程为x225+y216=1.(2)证明:l的方程为x=54y+m,代入x225+y216=1,并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则

10、PA

11、2=(x1-m)2+y12=4116y12,同理

12、PB

13、2=4116y22.则

14、PA

15、2+

16、PB

17、2=4116(y12+y22)=4116[(y1+y2)2-2y1

18、y2]=4116·-4m52-16(m2-25)25=41.所以

19、PA

20、2+

21、PB

22、2为定值.B组　提升题组1.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x24+y2=1,点P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆C上的两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,若m=x12,y1,n=x22,y2,m·n=0.(1)求证:k1·k2=-14;(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值,并说明理由.解析　(1)证明:∵k1,k2存在,∴x1x2≠0,∵m·n=0,∴x1x24+y1y2=0,∴k1·k2=y1y2x1x2=-14.(2)当直线PQ的斜率不存在,即x1=x2,y1=-y2时,由y1

23、y2x1x2=-14,得x124-y12=0,又P(x1,y1)在椭圆上,得x124+y12=1,∴

24、x1

25、=2,

26、y1

27、=22,∴S△POQ=12

28、x1

29、·

30、y1-y2

31、=1.当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+b(b≠0).由y=kx+b,x24+y2=1得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,Δ=64k2b2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(4k2+1-b2)>0,∴x1+