2018年高考数学总复习高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题-定点、定值、探索性问题

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1、高考达标检测(四十三)圆锥曲线的综合问题一一定点.定值、探索性问题1.(2017•汕头期末联考)已知抛物线C：#=2砂(卩>0)的焦点尸(1,0),0为坐标原点,A,〃是抛物线Q上异于0的两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线％,%的斜率Z积为一扌，求证：直线ABxLx轴上一定点.解：(1)因为抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以号=1，所以P=2・所以抛物线C的方程为7=4x(2)证明：①当直线〃〃的斜率不存在时，因为直线％防的斜率之积为一*，所以$•化简得产=32.所以J(8,f),M8,一门,此时直线初的方程为x=8.②当

2、直线的斜率存在时，设其方程为y=kx+b,%),B(xb,y),联立方程组;—消去乳得”一4y+4*0・v=kx+b根据根与系数的关系得y疋〃=4b因为直线创，〃的斜率之积为一£所以仝•艺__丄即&風+2y必=0.解得另必=0(舍去)或另必=一32.所以y”尸琴=_32,即b=_8k.所以y=kx—8k,即y=k(x—8).综上所述，直线血?过定点(8,0).221.(2017・甘肃张掖一诊)己知椭圆专+壬=1(日〉力＞0)的左、右焦点分别为凡凡皿

3、=2&,点P为椭圆短轴的端点，且HPFF2的面积为2&.(1)求椭圆的方程；(2)点0是椭圆上任意一

4、点,水4&,6),求

5、创一

6、血

7、的最小值;⑶点彳1,攀

8、是椭圆上的一定点，3,2是椭圆上的两动点，且直线创，驱关于直线/=1对称，试证明直线〃必的斜率为定值.解:仃)由题意可知c=£,S△朋尺=彳虫用

9、X力=2&,2所以b=2,求得心3,故椭圆的方程为春+才=1・⑵由⑴得丨殆

10、+丨处1=6,杆(一伍,0),尺(&,0).那么

11、-

12、如

13、=

14、创一(6-

15、处

16、)=

17、创+

18、处

19、一6,而I刎+I加&=74&_帝2十6_02=9,所以丨创一

20、如

21、的最小值为3.由(1)设直线〃〃的斜率为k,因为直线〃鸟与直线〃{关于直线x=l对称,所以直线B&的斜率为一&,所以直

22、线BB,的方程为y-^=Kx~},X—1可得（4+9护）#+6«（4边一3«）/+9#—24迈斤一4=0,因为该方程有一个根为x=.9护_24迈斤_44+9护同理得*2=9尸+2斯£_44+9#X—X2k上+曲—2kX—Xi/9护一24血斤一4.9护+24迈斤一4)4+%+4+9f)-2,_9#—240—49#+24回—4_6，4+9护—4+9护故直线〃必的斜率为定值半.1.(2016•合肥质检)设〃，〃为抛物线/=%上相异两点，其纵坐标分别为1,-2,分别以〃为切点作抛物线的切线人Z,设厶，Z相交于点弋(1)求点户的坐标；(2)/1/为儿〃

23、间抛物线段上任意一点，设~PM=A~PA+n~PB，试判断尹+V万是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由.解：⑴由题知水1,1),B(4,-2),设点P的坐标为(冯，必)，y—=kx—1,切线y~l=k{x~),联立仁Lr=x,由抛物线与直线Z相切，解得T，即A：y=2x~^~2f同理，y=-*x-LxP=—2.联立h,的方程，可解得41即点"的坐标为(一2,—0(2)设MJ,必)，且一2SW1.由扁=A~PA+u~PB得(说+2,〃+》=人(3,另+气6，一苏沟+2则寸r+y/~^=)3J+—=1,即"^/"^'+y/~^

24、为定值1・1.(2017•河北质量检测)己知椭圆E：手+壬=1的右焦点为尸(°0),且a>b>c>01设短轴的一个端点为〃，原点0到直线M的距离为平，过原点和x轴不重合的直线与椭圆F相交于CG两点，且丨齐丨+丨齐丨=4.(1)求椭圆F的方程；(2)是否存在过点"(2,1)的直线1与椭圆E相交于不同的两点A,〃且使得帝2=4~PA・励成立？若存在，试求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.解：⑴由椭圆的对称性知丨齐丨+

25、刁刁=2尸4,・••日=2.又原点0到直线M的距离为半，又a=lj+c=4,a>b>c>0,方=c=.99XV故椭圆F的方程为才+寸

26、(2)当直线/与丸轴垂直时不满足条件.故可设M(xi,yi),B(X2,比),直线1的方程为尸£匕一2)+1,代入椭圆方程得(3+4尸),一8斤(2£—1心+16护一16£—8=0,・・・4=32(6£+3)>0,1・・・k>--,8k2—116护一16斤一8闇+疋=3+4#'和"2=―帀尹—，•••OP2=4PA•PB,即4[(%i—2)(疋一2)+(yi—1)(乃一1)]=5,・・・4（加一2）（应一2）（1+护）=5,即4[山应一2（辰+&）+4]（1+#）=5,（1+A2）「16#—16&—8小8k2k-・M_2X—4/f+4=4X4+4#

27、3+4?=5解得斤=±+，斤=—£不符合题意，舍去.・・・存在满足条件的直线/,其方程为尸=X.