2018年高考数学总复习 高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题-定点、定值、探索性问题 理

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1、高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题1．(2017·汕头期末联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，

2、此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得ky2－4y＋4b＝0.根据根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．2．(2017·甘肃张掖一诊)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，

3、F1F2

4、＝2，点P为椭

5、圆短轴的端点，且△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A(4，6)，求

6、QA

7、－

8、QF1

9、的最小值；(3)点B是椭圆上的一定点，B1，B2是椭圆上的两动点，且直线BB1，BB2关于直线x＝1对称，试证明直线B1B2的斜率为定值．解：(1)由题意可知c＝，S△PF1F2＝

10、F1F2

11、×b＝2，所以b＝2，求得a＝3，故椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)得

12、QF1

13、＋

14、QF2

15、＝6，F1(－，0)，F2(，0)．那么

16、QA

17、－

18、QF1

19、＝

20、QA

21、－(6－

22、QF2

23、)＝

24、QA

25、＋

26、QF2

27、－6，而

28、QA

29、＋

30、QF2

31、≥

32、AF

33、2

34、＝＝9，所以

35、QA

36、－

37、QF1

38、的最小值为3.(3)设直线BB1的斜率为k，因为直线BB1与直线BB2关于直线x＝1对称，所以直线BB2的斜率为－k，所以直线BB1的方程为y－＝k(x－1)，设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，由可得(4＋9k2)x2＋6k(4－3k)x＋9k2－24k－4＝0，因为该方程有一个根为x＝1，所以x1＝，同理得x2＝，所以kB1B2＝＝＝＝＝，故直线B1B2的斜率为定值.3．(2016·合肥质检)设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2

39、相交于点P.(1)求点P的坐标；(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设＝λ＋μ，试判断＋是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．解：(1)由题知A(1,1)，B(4，－2)，设点P的坐标为(xp，yp)，切线l1：y－1＝k(x－1)，联立由抛物线与直线l1相切，解得k＝，即l1：y＝x＋，同理，l2：y＝－x－1.联立l1，l2的方程，可解得即点P的坐标为.(2)设M(y，y0)，且－2≤y0≤1.由＝λ＋μ得＝λ＋μ，即解得则＋＝＋＝1，即＋为定值1.4．(2017·河北质量检测)已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)，且

40、a＞b＞c＞0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且

41、

42、＋

43、

44、＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知

45、

46、＋

47、

48、＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a＞b＞c＞0，∴b＝，c＝1.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线

49、l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，∴Δ＝32(6k＋3)＞0，∴k＞－.x1＋x2＝，x1x2＝，∵2＝4·，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，∴4(1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.