（通用版）2020版高考数学大二轮复习能力升级练（二十一）不等式选讲文.docx

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1、能力升级练(二十一)　不等式选讲1.已知a>0,b>0,函数f(x)=

2、x+a

3、+

4、2x-b

5、的最小值为1.(1)求证:2a+b=2;(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.(1)证明f(x)=

6、x+a

7、+

8、2x-b

9、=

10、x+a

11、+x-b2+x-b2,∵

12、x+a

13、+x-b2≥ (x+a)-x-b2=a+b2且x-b2≥0,∴f(x)≥a+b2,当x=b2时取等号,即f(x)的最小值为a+b2,∴a+b2=1,即2a+b=2.(2)解∵a+2b≥tab恒成立,∴a+2bab≥t恒成立,a+2bab=1b+2a=1

14、b+2a(2a+b)·12=121+4+2ab+2ba≥121+4+22ab·2ba=92,当a=b=23时,a+2bab取得最小值92,∴92≥t,即实数t的最大值为92.2.(2019辽宁沈阳第二中学月考)已知定义在R上的函数f(x)=

15、2x-k

16、+2

17、x

18、,k∈N*.存在实数x0使f(x0)<2成立.(1)求实数k的值.(2)若m>12,n>12且f(m)+f(n)=10,求证9m+1n≥163.(1)解∵存在实数x0使f(x0)<2成立,∴f(x)min<2.∵

19、2x-k

20、+2

21、x

22、=

23、2x-k

24、+

25、2x

26、≥

27、2

28、x-k-2x

29、=

30、k

31、,则f(x)min=

32、k

33、<2,解得-2

34、2x-1

35、+2

36、x

37、,∵m>12,n>12,∴f(m)=

38、2m-1

39、+2

40、m

41、=2m-1+2m=4m-1,同理,f(n)=4n-1,∵f(m)+f(n)=10,∴4m+4n-2=10,即m+n=3.∴9m+1n=139m+1n(m+n)=1310+9nm+mn≥1310+29nm·mn=163,当且仅当9nm=mn,又m+n=3,得m=94,n=34时取等号.3.(2019河北石家庄质量检测(一)

42、)已知函数f(x)=

43、ax-1

44、-(a-2)x.(1)当a=3时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点,求实数a的取值范围.解(1)当a=3时,不等式可化为

45、3x-1

46、-x>0,即

47、3x-1

48、>x,当3x-1≥0,即x≥13时,有3x-1>x,解得x>12.当3x-1<0,即x<13时,有-3x+1>x,解得x<14.所以不等式f(x)>0的解集为xx<14或x>12.(2)当a>0时,f(x)=2x-1,x≥1a,2(1-a)x+1,x<1a,要使函数f(x)的图象与x轴无交点,只需2a

49、-1>0,2(1-a)≤0,即1≤a<2;当a=0时,f(x)=2x+1,函数f(x)的图象与x轴有交点,不合题意;当a<0时,f(x)=2x-1,x≤1a,2(1-a)x+1,x>1a,要使函数f(x)的图象与x轴无交点,只需-12(1-a)≤1a<0,此时无解.综上可知,若函数f(x)的图象与x轴无交点,则实数a的取值范围为[1,2).4.(2018全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=

50、2x+1

51、+

52、x-1

53、.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解(1)f(x)

54、=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.5.(2019河北石家庄精英中学模考)已知函数f(x)=

55、2x-a

56、+

57、2x+1

58、.(1)当a=1时,求f(x)≤2的解集;(2)若g(x)=4x2+ax-3.当a>-1且x∈-12,a2时,f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.解(1)当a=1时,f

59、(x)=-4x,x<-12,2,-12≤x≤12,4x,x>12,当x<-12时,f(x)≤2无解;当-12≤x≤12时,f(x)≤2的解集为x-12≤x≤12;当x>12时,f(x)≤2无解.综上所述,f(x)≤2的解集为x-12≤x≤12.(2)当x∈-12,a2时,f(x)=(a-2x)+(2x+1)=a+1,所以f(x)≥g(x)可化为4x2+ax-a-4≤0.又h(x)=4x2+ax-a-4在-12,a2上的最大值必为h-12,ha2之一,则1-a2-a-4≤0,a2+a22-a-4≤0,即a≥-2,-43≤a

60、≤2,即-43≤a≤2.又a>-1,所以-1