3、2=32+c2-2×3×c×-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinC=cbsinB=5314.在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角.所以cosC=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.3.(2017全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6
4、cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解 (1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.4.(201
5、7全国Ⅱ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517.(2)由cosB=1517得sinB=817,故S△ABC=12acsinB=417ac.又S△ABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=
6、6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.所以b=2.5.(2017全国Ⅲ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解 (1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=
7、π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=23,所以△ABD的面积为3.典题演练提能·刷高分1.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2AB·AC=a2-(b+c)2.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b=23,求△ABC的面积.解 (1)由已知2AB·AC=a2-(b+c)2,得2bccosA=a2-(b+c)2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
8、得4bccosA=-2bc,所以cosA=-12.又0
