抛物线地实用标准方程及性质.doc

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1、实用文档抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线想一想:定义中的定点与定直线有何位置关系?点F不在直线L上,即过点F做直线垂直于l于F，

2、FK

3、=P则P>0求抛物线的方程解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线y轴设︱KF︱=p则F（），l：x=-。设抛物线上任意一点M（X，Y）定义可知

4、MF

5、=

6、MN

7、即：化简得y2=2px（p＞0）二、标准方程把方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F（，0），l：x=-而p的几何意义

8、是:焦点到准线的距离

9、FK

10、一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.1．四种抛物线的标准方程对比图形标准方程焦点坐标准线方程实用文档2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？顶点在原点对称轴为x轴对称轴为y轴标准方程为标准方程为y2=+2px(p>0)x2=+2py(p>0)开口与x轴开口与x轴开口与y轴开口与y轴同向：反向:同向：反向:y2=+2pxy2=-2pxx2=+2pyx2=-2py(p>0)(p>0)(p>0)(p>0)三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)，则

11、（1）范围：抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是x≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.（3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.（5）在抛物线y2＝2px（p＞0）中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.（6）平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点.但它不是双

12、曲线的切线.（7）焦点弦长公式：过焦点弦长四、例题讲解例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y2=6x（2）（3）2x2+5y=0解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（，0）准线方程是x=-（2）因为2p=，p=，所以焦点坐标是（0，），准线方程是Y=-实用文档（3）抛物线方程是2x2+5y=0,即x2=-y,2p=，则焦点坐标是F（0，-）,准线方程是y=例2.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F（0，-2）(2)焦点在直线3x-4y-12=0上(3)抛物线过点A（-3，2）。解：(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2=2，p=

13、4，所以抛物线的方程是x2=-8y(2)由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，即A（4，0）或B（0，-3）当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y(3)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，当焦点在x轴的负半轴上时得p=把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=-x例3.设P是抛物线上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为

14、F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。图4图3实用文档（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点P1，则，则有=4即的最小值为4巩固练习：1、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为解析：运用抛物线的定义，将到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离，如右图，当点与以及三点共线时，距离之和最小，即为2、已知A（3，1），抛物线上一点P（

15、x,y），则

16、PA

17、+y的最小值为。解析：抛物线的准线为：y=-1，焦点F（0，1），记P在直线y=-1上的射影为Q，则y=

18、PQ

19、-1=

20、PF

21、-1，

22、PA

23、+y=

24、PA

25、+

26、PF

27、-1，问题转化为：求

28、PA

29、+

30、PF

31、的最小值，易见：

32、PA

33、+

34、PF

35、≥

36、AF

37、=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：

38、PA

39、+y的最小值为2。3、求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H。图5由抛物线的定义有：∵ABDC是直角梯形实用文