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《（江苏专用）2020版高考数学总复习第十三章第二节数学归纳法课时作业苏教版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节 数学归纳法课时作业练1.(2019江苏徐州高三模拟)已知数列{an}满足a1=1,当n≥2时,an-1an=1+an-12-1.(1)用数学归纳法证明:an=tanπ2n+1;(2)求证:Cn1(an-1)+2Cn2(an-1)2+…+kCnk(an-1)k+…+nCnn(an-1)n≤0.证明 (1)将a1=1代入a1a2=1+a12-1得a2=2-1,当n=1时,a1=tanπ4=1成立.假设当n=k(k∈N*,k≥1)时成立,即ak=tanπ2k+1,则当n=k+1时,ak+1=1+ak2-1ak=1+tan2π2k+1-1tanπ2k+1=1-cosπ2k+1sinπ2k
2、+1=tanπ2k+2,所以当n=k+1时结论也成立.综上所述,an=tanπ2n+1.(2)因为kCnk=kAnkk!=nCn-1k-1,所以kCnk(an-1)k=(an-1)nCn-1k-1(an-1)k-1.因此Cn1(an-1)+2Cn2(an-1)2+…+kCnk(an-1)k+…+nCnn(an-1)n=(an-1)nann-1.由(1)知,an=tanπ2n+1∈(0,1],所以(an-1)nann-1≤0,得证.2.(2018宁波九校联考)已知n∈N*,Sn=(n+1)·(n+2)…(n+n),Tn=2n×1×3×…×(2n-1).(1)求S1,S2,S3,T1,T2,
3、T3;(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.解析 (1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120.(2)猜想:Sn=Tn(n∈N*).证明:①当n=1时,S1=T1;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,Sk=Tk,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1),则当n=k+1时,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)=2k×1×3×…×(2k-1)k+1×(2k+1)(2k+2)=2k+1×1×3×…×(2k-1)(2k+1)=Tk+1
4、.即n=k+1时也成立,由①②可知,n∈N*,Sn=Tn成立.3.(2019苏锡常镇四市高三模拟)设n≥2,n∈N*.有序数组(a1,a2,…,an)经m次变换后得到数组(bm,1,bm,2,…,bm,n),其中b1,i=ai+ai+1,bm,i=bm-1,i+bm-1,i+1(i=1,2,…,n),an+1=a1,bm-1,n+1=bm-1,1(m≥2).例如:有序数组(1,2,3)经1次变换后得到数组(1+2,2+3,3+1),即(3,5,4);经第2次变换后得到数组(8,9,7).(1)若ai=i(i=1,2,…,n),求b3,5的值;(2)求证:bm,i=∑j=0nai+jCmj
5、,其中i=1,2,…,n.(注:当i+j=kn+t时,k∈N*,t=1,2,…,n,则ai+j=at)解析 (1)依题意知,(1,2,3,4,5,6,7,8,…,n)经1次变换为(3,5,7,9,11,13,15,…,n+1),经2次变换为(8,12,16,20,24,28,…,n+4),经3次变换为(20,28,36,44,52,…,n+12),所以b3,5=52.(2)证明:下面用数学归纳法证明对m∈N*,bm,i=∑j=0mai+jCmj,其中i=1,2,…,n.(i)当m=1时,b1,i=ai+ai+1=∑j=01ai+jC1j,其中i=1,2,…,n,结论成立;(ii)假设m=
6、k(k∈N*)时,bk,i=∑j=0kai+jCkj,其中i=1,2,…,n.则m=k+1时,bk+1,i=bk,i+bk,i+1=∑j=0kai+jCkj+∑j=0kai+j+1Ckj=∑j=0kai+jCkj+∑j=1k+1ai+jCkj-1=aiCk0+∑j=1kai+j(Ckj+Ckj-1)+ai+k+1Ckk=aiCk+10+∑j=1kai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1=∑j=0k+1ai+jCk+1j,所以结论对m=k+1时也成立.由(i)(ii)知,m∈N*,bm,i=∑j=0mai+jCmj,其中i=1,2,…,n.4.(2017浙江,22,15分)已知数列{
7、xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).证明:当n∈N*时,(1)00.当n=1时,x1=1>0.假设n=k时,xk>0,那么n=k+1时,若xk+1≤0,则00.所以xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+l
