（江苏专用）2020版高考数学总复习第十四章第二节排列与组合课时作业苏教版.docx

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1、第二节　排列与组合课时作业练1.(2018江苏海安高级中学期中)利用排列数公式证明:1n+1An+1m+1=1n-mAnm+1.证明　左边=1n+1An+1m+1=1n+1×(n+1)!(n-m)!=n!(n-m)!=Anm,右边=1n-mAnm+1=1n-m×n!(n-m-1)!=n!(n-m)!=Anm,所以原命题得证.2.(2019江苏无锡高三模拟)平面内有9个点,其中有4个点共线,其余任何3点不共线,问:(1)过任意两点作一条直线,这样的直线有多少条?(2)能确定多少条射线?(3)能确定多

2、少个不同的圆?解析　(1)共线中的4点任取两点构成同一直线,有1条;在共线的4点中任取1点,从共线之外的5个点中任选1个点,可构成4×5=20条;在共线的4点中不取,从共线之外的5个点中任选2个点,可构成C52=10条,故一共有1+20+10=31条.(2)任取两点都有2条射线,所以共有A92=72条射线.(3)从共线之外的5个点中任选3个,故有C53=10个圆,从共线的4点中任选1个,从共线之外的5个点中任选2个,故有C41C52=40个圆,从共线的4点中选2个,从共线之外的5个点中任选1个,故

3、有C42C51=30个圆,故能确定10+40+30=80个圆.3.(2019南京、盐城高三模拟)已知n∈N*,且n≥4,数列T:a1,a2,…,an中的每一项均在集合M={1,2,…,n}中,且任意两项不相等.(1)若n=7,且a2ak+1,求所有符合条件的数列T的个数.解析　(1)当n=7时,M={1,2,…,7}.则数列T的个数为C72×C22=42.(2)当k=1时,则a1>a2,a2

4、3<…ak+1,ak+1

5、n的情况,因此符合条件的数列T的个数为CnkCn-kn-k-1=Cnk-1.当k=n-1时,则a1an,此时an-1为n,an共有n-1种选法,余下的n-2个数按从小到大依次排列,共有1种,因此k=n-1时,符合条件的数列T共有n-1=Cnn-1-1个.于是所有符合条件的数列T的个数为Cn1-1+Cnk-1+…+Cnn-1-1=Cn1+…+Cnk+…+Cnn-1-n+1=2n-Cn0-Cnn-n+1=2n-n-1.4.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,

6、2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当sit,那么称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序,即(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析　(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(1

7、23)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻的两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-

8、1.为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n≥5时,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n≥5时,fn(2)=n2-n-22.基础滚动练(滚动循环　夯实基础)1.设a