2020年高考数学二轮提升专题训练考点14 基本不等式及其应用（1）含答案.doc

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1、考点14基本不等式及其应用（1）【自主热身，归纳总结】1、（2019年苏州学情调研）若正实数满足，则的最小值是▲．【答案】、8【解析】、因为正实数满足，所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.2、(2018苏锡常镇调研（一））已知a>0,b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．【答案】2　【解析】、利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．3、(2017苏北四市期末）.若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．【

2、答案】.8　【解析】、解法1因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.解法2因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.解后反思从消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基

3、本不等式的条件成熟．4、(2015苏北四市期末）已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．【答案】25【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5时取等号)．5、(2017南京、盐城、徐州二模）已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tanα的最大值是

4、________．【答案】　【解析】、注意研究目标，故先要将cos(α＋β)应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tanα表示为β的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果．由cos(α＋β)＝得cosαcosβ－sinαsinβ＝，即cosαcosβ＝sinα，由α，β均为锐角得cosα≠0，tanβ>0，所以tanα＝＝＝＝＝≤＝，当且仅当2tanβ＝，即tanβ＝时，等号成立．根据所求的目标，将所求的目标转化为相关的变量的函数，是研究最值问题的基本方法．6、(2016宿迁一模）若a2－

5、ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是________．【答案】2【解析】、解法1因为a2－ab＋b2＝1，即(a＋b)2－3ab＝1，从而3ab＝(a＋b)2－1≤，即(a＋b)2≤4，所以－2≤a＋b≤2，所以(a＋b)max＝2.解法2令u＝a＋b，与a2－ab＋b2＝1联立消去b得3a2－3au＋u2－1＝0，由于此方程有解，从而有Δ＝9u2－12(u2－1)≥0，即u2≤4，所以－2≤u≤2，所以(a＋b)max＝2.解法3由于a2－ab＋b2＝1与代数式a＋b是对称的，根据对称极端

6、性原理，当a＝b时取得最值，此时a2＝1，从而a＝±1，所以(a＋b)max＝2a＝2.7、(2017苏北四市一模）已知a，b为正实数，且a＋b＝2，则＋的最小值为________．【答案】2＋　【解析】、令b＋1＝c，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了．设b＋1＝c，则b＝c－1，a＋c＝3，且0

7、关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x

8、3

9、．【答案】　思路分析1注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.解法1由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．思路分析2由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来．解法2由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2，其中mn