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《高考数学二轮核心考点突破：专题11-基本不等式及其应用（含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题11基本不等式及其应用【自主热身,归纳总结】1.已知a>0,b>0,且＋＝,则ab的最小值是________．【答案】:2 【解析】利用基本不等式,化和的形式为积的形式．因为＝＋≥2,所以ab≥2,当且仅当＝＝时,取等号．2.已知正数满足,则的最小值为．【答案】9【解析】:=9．3.已知正实数x,y满足,则x+y的最小值为．【答案】:4.已知a,b为正数,且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行,则2a＋3b的最小值为________．【答案】25 【解析】:由于直线ax＋by－6＝0
2、与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行,所以a(b－3)＝2b,即＋＝1(a,b均为正数),所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5时取等号)．高考数学5.已知正实数满足,则的最小值为．【答案】8【解析】:因为,所以．又因为,所以,所以,当且仅当,即时等号成立．易错警示在应用基本不等式时,要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外,在应用基本不等式时,要注意整体思想的应用．6.设实数x,y满足x2＋2xy－1＝0,则x2＋y2的最小值是________．【答案】
3、思路分析1注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值．注意中消去y较易,所以消去y.解法1由x2＋2xy－1＝0得y＝,从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝,当且仅当x＝±时等号成立．思路分析2由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式,构造出x2＋y2,然后将x2＋y2求解出来．解法2由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2,其中mn＝1(m,n>0),所以(m＋1)x2＋ny2≥1,令m＋1＝n,与mn＝1联立解得m
4、＝,n＝,从而x2＋y2≥＝.7.若正实数满足,则的最小值是▲．【答案】.8【解析】:因为正实数满足,所以,当且仅当,即,又,即,等号成立,即取得最小值.高考数学8.若实数x,y满足xy＋3x＝3,则＋的最小值为________．【答案】:8 解法1因为实数x,y满足xy＋3x＝3,所以y＝－3(y＞3),所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8,当且仅当y－3＝,即y＝4时取等号,此时x＝,所以＋的最小值为8.解法2因为实数x,y满足xy＋3x＝3,所以y＝－3(y＞3),y－3＝－6＞0,所以＋＝＋＝－6＋
5、＋6≥2＋6＝8,当且仅当－6＝,即x＝时取等号,此时y＝4,所以＋的最小值为8.解后反思从消元的角度看,可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”,无论用哪种消元方式,消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟．9.已知正数a,b满足＋＝－5,则ab的最小值为________．【答案】.36 【解析】:因为正数a,b满足＋＝－5,所以－5≥2,当且仅当9a＝b时等号成立,即ab－5－6≥0,解得≥6或≤－1(舍去),因此高考数学ab≥36,从而(ab)min＝36.10.已知α,β均为锐角,且
6、cos(α＋β)＝,则tanα的最大值是________．【答案】 11.已知正数x,y满足＋＝1,则＋的最小值为________．【答案】25 【解析】:因为＝1－,所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因为＝1－>0,所以x>1,同理y>1,所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25,当且仅当x＝时取等号,所以＋的最小值为25.12.已知a＋b＝2,b＞0,当＋取最小值时,实数a的值是________．【答案】:－2解法1＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝,高考数学当且仅
7、当a＜0,且＝,即a＝－2,b＝4时取等号．解法2因为a＋b＝2,b＞0,所以＋＝＋(a＜2)．设f(a)＝＋(a＜2),则f(a)＝当a＜0时,f(a)＝－－,从而f′(a)＝－＝,故当a＜－2时,f′(a)＜0;当－2＜a＜0时,f′(a)＞0,故f(a)在(－∞,－2)上是减函数,在(－2,0)上是增函数,故当a＝－2时,f(a)取得极小值;同理,当0≤a＜2时,函数f(a)在a＝处取得极小值.综上,当a＝－2时,f(a)min＝.【问题探究,变式训练】:例1.已知正数x,y满足x＋y＝1,则＋的最小值为_
8、_______．【答案】: 解法1令x＋2＝a,y＋1＝b,则a＋b＝4(a＞2,b＞1),＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝,当且仅当a＝,b＝,即x＝,y＝时取等号．解法2(幂平均不等式)设a＝x＋2,b＝y＋1,则＋＝＋＝＋≥＝.高考数学解法3(常数代换)设a＝x＋2,b＝y＋1,则＋＝＋＝＋＝＋＋≥,当且仅当a＝2b时取等号．【变式1】.已知实数x,y满足x>y>0,
