导数恒成立问题(教师版).doc

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1、导数恒成立问题1、已知函数（a为实数）（I）若在处有极值，求a的值；（II）若在上是增函数，求a的取值范围。1.解（I）由已知得的定义域为又由题意得（II）解法一：依题意得对恒成立，的最大值为的最小值为。又因时符合题意为所求2、设函数.（Ⅰ）若时，取得极值，求的值；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；2.解：，（Ⅰ）因为时，取得极值，所以，即故．（Ⅱ）的定义域为.方程的判别式,第6页共6页(1)当,即时，,在内恒成立,此时为增函数.(2)当,即或时，要使在定义域内为增函数,只需在内有即可,设，由得,所以.由(1)(2)可知,若在其定义

2、域内为增函数，的取值范围是.3、设函数.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若当时，不等式f(x)0；由，得.∴f(x)的递增区间是，递减区间是（-1,0）.（Ⅱ）∵由，得x=0,x=-2（舍去）由（Ⅰ）知f(x)在上递减，在上递增.又，,且.∴当时，f(x)的最大值为.故当时，不等式f(x)1或x<-1（舍去）.由

3、,得.第6页共6页∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.为使方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有∵,∴实数a的取值范围是.4、已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.4.（Ⅰ）解：的定义域为，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.令，则.当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，从而的取值范围是.5、已知函数对任意恒成立，试求m的取值范围。第6页共6页

4、6、已知函数，，其中．（1）若函数在上的图像恒在的上方，求实数的取值范围．（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．7、设函数(1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(3)设函数，若在[l，e]上至少存在一组使成立，求实数a的取值范围.8、设函数．（I）求函数的单调区间；（II）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．第6页共6页9、已知（1）求在处的切线方程．（2）若在区间为增函数，求a的取值范围10、设函数．若对所有都有，求的取值范围．解：令，则，（1）若，当

5、时，，故在上为增函数，∴时，，即．（2）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．∴时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．解：，由，当且仅当时等号成立．故，从而当，即时，，而，于是当时，．由可得．从而当时，，故当时，，而，于是当时，．综合得的取值范围为．解：，令，，∵，∴，于是当时，，在递增，，∴，在递增，，∴．当时，由得，当时，，在递减，而，∴，即，在递减，而，∴，不满足条件，∴的取值范围为．第6页共6页11、已知，若，求的取值范围．解：，．题设等价于．令，则．当，；当时，，∴是的最大值点，∴，∴的取值范围是．12

6、、若对所有的都有成立，求实数的取值范围．解：由题意有：在上恒成立，令，于是只需要满足，此时既不好找的零点，也不好判断它的正负，令，，∵，∴，，于是在上是增函数，，∴，∴在上是增函数，∴，∴的取值范围是．第6页共6页