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1、第二讲参数方程回归课本1.曲线的参数方程一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y),都是某个变数t的函数①并且对于t取的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做曲线的普通方程.2.直线的参数方程经过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的普通方程是y-y0=(x-x0)tanα,而过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为参数t的几何意义是表示直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为
2、终点的有向线段M0M的数量.3.圆的参数方程圆心为(a,b),半径为r,以圆心为顶点且x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α的参数的圆的参数方程是4.椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数,椭圆考点陪练答案:A解析:消去t,得x-3y-5=0.∵0≤t≤5,∴-1≤y≤24.答案:A答案:D答案:(-∞,0)∪(10,+∞)类型一参数方程的概念解题准备:参数方程与普通方程都是曲线的表示形式,都可以用来解决曲线的问题,用参数方程处理数学问题,关键在于恰当地选择参数.[分析]利用参数方程判断时,θ须看有无解,也可利用普通方程来判断.类型二参数方程与普通方程的互
3、化解题准备:曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.[反思感悟]把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个是参数,并且要注意x及y的取值范围.类型三直线的参数方程解题准备:利用直线的参数方程可使有些问题得到简捷的解决,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式,而对于某些
4、比较简单的直线问题比如直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.【典例3】已知直线l经过点A(1,2),倾斜角为(1)求直线l的参数方程;(2)求直线l和圆x2+y2=9的两个交点到点A的距离之积.[分析]根据直线参数方程中参数t的几何意义,运用一元二次方程根与系数的关系求解.[反思感悟]涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程,直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0).其中k=tanα(α≠90°),α为直线的倾斜角,则参数方程为类型四圆(椭圆)的参数方程及简单应用[分析](1)曲线C1､C2的参数方程可通过适当变形采用平方消元的方法化为普通方程,然后
5、说明曲线;(2)由中点坐标公式,用参数θ表示出点M的坐标,将直线的参数方程化为普通方程,根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数,转化为求函数的最值.[反思感悟]本题综合性地考查参数方程的基础知识和应用,特别是第(2)问设计的十分新颖,题目中的动点M实际上也形成一条曲线,题目的要求就是求这条曲线上的点到直线C3的距离的最小值,这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值.从第(2)问可以看出参数方程在解题中的优越性.另外在(2)问中,如果对于绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ+φ)=-1时取最小值,从而得出错误结论.错源参数的几何意义不明致误技法分类讨论
