第二讲-7直线的参数方程应用.ppt

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1、直线的参数方程应用直线的参数方程（二）在必修本和选修本中分别学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。如果通过直线方程的另一种形式——参数式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。解：由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程(t

2、是参数)。例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。解：由条件，设直线AA‘的参数方程为(t是参数)，∵A到直线l的距离d=，∴t=AA'=，代入直线的参数方程得A’(，)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。二、求解中点问题例3．已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是。(t是参数)，

3、代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。又直线P1P2的斜率，点P（2，1）在直线P1P2上，∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。三、求定点到动点的距离例4．直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式，代入2x+y−2=0得t'=，∴PQ=

4、t'

5、=。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数

6、的标准形式。解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t2+t−4=0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=−，t1·t2=−4，由t1与t2的符号相反知PA+PB=

7、t1

8、+

9、t2

10、=

11、t1−t2

12、=，PA·PB=

13、t1·t2

14、=4。例5．经过点P(−1，2)，倾斜角为的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：，∴AB=

15、t1−t2

16、

17、=四、求直线与曲线相交弦的长例6．已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：分析：弦长AB=

18、t1−t2

19、。例7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或

20、t1

21、=2

22、t2

23、。解：设椭圆方程为，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2+a2)t2−b2ct−b4=0，由于t1=−2t2，b2=a2−c2代入，8c2=3a2+a2−c2，得则，①2×2+②得：e=在研究线段

24、的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。小结