按应力求解平面问题.ppt

《按应力求解平面问题.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2-8按应力求解平面问题按应力求解平面问题——平衡微分方程本来就不包含应变分量和位移分量,应当保留。于是,只须由三个几何方程中消去位移分量,得出三个应变分量之间的一个关系式,再将三个物理方程代入这个关系式,使它只包含应力分量。弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。（1）取为基本未知函数；1.按应力求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:平面应力问题的基本方程平衡微分方程物理方程几何方程位移用变形─应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又

2、难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即。变形用应力表示（物理方程）。⑶在A内求解应力的方程(b)从几何方程中消去位移，，得相容方程（形变协调条件）：补充方程─从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:平衡微分方程（2个）。(a)变形协调方程或相容方程平面应力问题要使得满足几何方程的位移存在且是单值的,应变分量之间必须满足一定的条件变形协调方程或相容方程平面应力问题将对y偏导数两次，将对x偏导数两次，将分别对x和y偏导数两次变形协调方程或相容方程(Saint-Venant)——平面应力问题应变分量，，必须满足这个方程,才能保

3、证位移分量和的存在。如果任意选取函数，和而不能满足这个方程,那么,由三个几何方程中的任何两个求出的位移分量,将与第三个几何方程不能相容。这就表示,变形以后的物体就不再是连续的,而将发生某些部分互相脱离或互相侵入的情况。相容方程几何意义例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。不相容举例对于多连通物体：我们总可以作适当的截面使它变成单连通物体，则上述的结论也完全适用。具体地说，如果应变分量满足应变协调方程，则在此被割开以后的区域里，一定能求得单值连续的函数。但对求得的位移

4、分量，当x，y点分别从截面两侧趋向于截面上某一点时，一般说它们将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持为连续体，则必须加上补充条件。acbd++--因此，对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件,只有加上补充条件,条件才是充分的。补充多连通物体2.变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：（b）将上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程（2）平面应变情形（2-24）（平面应力情形）应力表示的相容方程（

5、平面应变情形）注意：当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）将上式中的泊松比μ代为：，得用应力表示的相容方程：其中(4)应力边界条件－－假定全部边界上均为应力边界条件。（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条件.归纳：（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题，应力必须满足下列条件：点共点（连续），变形后三连杆在点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。例三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在D3.按应力求解平面问题

6、的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：（2-18）（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。例下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：——满足将式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一组可能的应力场。（2-2）例下面给出

7、平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。例题已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。解答：（1）相容条件将形变分量代入应变协调条件（相容方程）其中所以满足相容方程，符合连续条件。解答：（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为（3）平衡微分方程解答：（3）平衡微分方程其中若满足平衡微分方程，必须有

8、例解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：显然，平衡微分方程满足。（2-2）图