平面应力问题.doc

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1、平面应力问题平面域A内的基本方程:平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内）物理方程（在A内）即:S上边界条件:应力边界条件在上）位移边界条件（在上）平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解二、基本假设1、连续性假定假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。2、完全弹性假定a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此，E、μ等与位置无关。4、各向同性假定假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3

2、、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。5、小变形假定假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸，例：梁的挠度v＜＜梁高h。例：梁的≤10－3＜＜1,＜＜1弧度。小变形假定的应用：a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。b.简化几何方程：在几何方程中，由于可略去等项,使几何方程成为线性方程。弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第二节有限元方法概述1分析思路是：将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提

3、供整体结构的力学特性。2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。P5,6例题1：试分析AB薄层中的应力状态因表面无任何面力，

4、故表面上，有：在近表面很薄一层内故接近平面应力问题例2由,两边对x积分，由,两边对y积分代入第三式分开变量，因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数，由此解出。可得物理意义：－－表示x，y向的刚体平移，－－表示物体绕原点的刚体转动。例3列出边界条件：例4列出边界条件：显然，边界条件要求在上，也成抛物线分布。3、混合边界条件：⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；⑵同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例4列出的边界条件：例5考虑两端固定的一维杆件

5、。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。解：为了简化，设位移按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为(b)位移边界条件（c）用位移表示的应力边界条件（d）第一式自然满足，第二式成为解出均属于位移边界条件，代入得得例6三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在D点共点（连续），变形后三连杆在点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。因此在常体力情况下，按应力求解平面问题可归纳为求解一个应函数，在区域内满足相容性方程，在边界上满足应

6、力边界条件，在多连体中还应该满足位移单值条件。由相容性方程求解出应力函数，然求解出应力分量，再由物理方程和几何方程即可求解应变分量和位移分量。例7试列出图中的边界条件解:(a)在主要边界应精确满足下列边界条件：在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚时在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：(b)在小边界y=0，列出3个积分的边界条件，当板厚时，注意在列力矩的条件时两边均是对原点o的力矩来计

7、算的。对于y=h的小边界可以不必校核例8厚度悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1)区域内用位移表示的平衡微分方程(2)应力边界条件，在所有受面力的边界上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。(3)位移边界条件。本题在x=l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。(4)应变协调方程例9试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即（

8、a）相容；（b）须满足B=0,2A=C；（c）不相容，只有C=0。例10在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当）。（a）此组应力满