弹性力学6、7-按位移、应力求解及简化应力函数

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1、第二章平面问题的基本理论本章内容2.1平面应力与平面应变2.2平衡微分方程2.3一点的应力状态2.4几何方程2.5物理方程2.6边界条件2.7圣维南原理2.8按位移求解平面问题2.9按应力求解平面问题2.10常体力情况下的简化第二章平面问题的基本理论2.8平面问题的求解方法平面问题的基本方程与未知数平衡微分方程：2个，两类问题完全相同几何方程：3个，两类问题完全相同物理方程：3个，两类问题不同，只需对系数作替换未知函数：3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量边界条件：8个方程是弹性体内部必须满足的条件，而在边界上则必须满足边界条件（应力、位移、混合

2、）第二章平面问题的基本理论2.8平面问题的求解方法求解方法：未知函数及方程较多，难于求解，通常采用消元法。又可分为：按位移求解和按应力求解。1.按位移求解：以2个位移分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含位移分量的基本方程（平衡微分方程）和边界条件，由此解出位移分量，然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量。位移分量应变分量应力分量位移解法几何方程物理方程应力解法u、vex、ey、gxysx、sy、txy第二章平面问题的基本理论2.8平面问题的求解方法2.按应力求解：以3个应力分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件

3、中消去位移分量和应变分量，导出只含应力分量的基本方程（变形协调方程）和边界条件，由此解出应力分量，然后根据物理方程和几何方程求应变分量和位移分量。位移分量应变分量应力分量位移解法几何方程物理方程应力解法u、vex、ey、gxysx、sy、txy第二章平面问题的基本理论2.8按位移求解平面问题1.按位移求解推导过程：以2个位移分量u和v为基本未知函数。为了消元，其它6个未知函数须用u和v表示,步骤如下；（1）将应变分量用u和v表示，直接采用几何方程：uvvue,e,g式(2-8)xyxyxyxy（2）为了将应力分量用u和v表示，将几何方程

4、代入用应变表示的物理方程（以平面应力问题为例）得到用位移表示的物理方程：EEuv1s(ee)s()e(ss)x2xyx2xxy11xyE1EEvus(ee)s()e(ss)y2yxy2yEyx11yx2(1)EEvugxytxytxygxytxy()E2(1)2(1)xy第二章平面问题的基本理论2.8按位移求解平面问题（3）推导求位移分量的方程。将位移表示的物理方程（2-17）代入平衡微分方程，得到用u和v表示的平衡微分方程，即为求解位移的基本方程（2-18）—拉梅

5、方程：sE()uvst222x2xyxf0Eu11uv1xyx（）f0xy222xEvu1x2y2xys()y21yxst222yxyf0Ev11vuEvuy（）f0txy()yx12y22x22xyy2(1)xy（4）推导用位移表示的边界条件。将位移表示的物理方程（2-17）代入应力边界条件，得到用u和v表示的应力边界条件：(sltm)f(s)E[(luv)m1(uv)]fxxysx2s

6、x式(2-17)12xyyx(tlsm)f(s)xyysyEvu1vu[(m)l()]f2sy12yxxy此外，位移边界条件不变：(u)u(s),(u)u(s)式(2-14)ss第二章平面问题的基本理论2.8按位移求解平面问题2.按位移求解总结：（1）平面应力问题按位移求解的方法，就是使位移分量u和v满足如下条件：（a）在区域内满足平衡微分方程(2-18)-拉梅方程；（b）在边界上满足应力边界条件(2-19)或位移边界条件(2-14)。求解出位移分量u和v后，代入几何方程(2-8)求应变分量，代入方程(2-

7、17)求应力分量。位移分量应变分量应力分量位移解法几何方程物理方程应力解法u、vex、ey、gxysx、sy、txy上述条件也是校核位移是否正确的全部条件。对于已有的应力解答，可利用这些条件来进行校核。第二章平面问题的基本理论2.8按位移求解平面问题（2）将平面应力问题各方程中的E和作如下替换，可得平面应变问题的位移法求解方程和边界条件：EE或者：21直接将平面应力问题的解答中的E和作同样的替换，得到平面1应变问题的解答（3）应用情况：按位移求解需要联立求解二阶偏微分方程，实际应用时较难得到精确满足位移边界条件的解析解，得到的已知解答较少。

8、但由于它能适应各种边界条件问题，它在弹