弹性力学13-轴对称应力和相应的位移.pdf

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1、第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移得到轴对称问题在极坐标（r，j）下的：应力分量的通用表达式（含待定系数）位移分量的通用表达式（含待定系数）第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移轴对称问题：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面均是对称面。即，在对称面两边对应点的物理量必须满足如下两个条件：（1）数值必须相等：在极坐标下，任一环向线上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径向坐标r的函数，不随环向坐标f改变，即与f无关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维。（2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不对

2、称的物理量不能存在：trj=tjr=0。第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移应力是轴对称的，从方向的对称性可得t=t=0，rjjr由数值的对称性可知应力函数只是径向坐标的函数：=(r)代入极坐标系中的应力公式211=r22rrrj2=j2r1t=()rj化简得式（4-9）：rrj21dd=,=,t=t=0rj2rjjrrdrdr第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移（1）相容方程-应力函数相容方程的一般形式（4-6）在轴对称下的简化：22222411dd1dd1=

3、=22222rrrrfddrrrddrrr22d11ddd==r2drrdrrdrdr224d1d1dd1dd=2=rr=0drrdrrdrrdrdrdr方程为一个四阶常微分方程，上式积分4次，即得到轴对称应力状态下应力函数的通解：22=AlnrBrlnrCrD其中A、B、C和D为四个待定常数。第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移（2）应力分量：将通解代入应力公式（4-9），得轴对称应力的应力分量为：1dA

4、r==BC(12ln)2r2rdrr2dAr==BC(32ln)2f22drrtt==0rffr对于平面应力情况，将上述应力代入物理方程，可求得相应的应变分量。将上面所求的应变分量代入几何方程，通过积分，可得到轴对称应力状态下的位移分量公式。第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移（3）应变分量：将应力分量式（4-11）带入物理方程式（4-3）：ur1A==(1)(13)B2(1)lnBr2(1)Cr2rrE11uujrA==(1)(3)B2(1)lnBr2(1

5、)Cj2rrEr1urujuj==0rjrrr（4）位移分量对第一式径向应变积分：1Au=(1)(13)Br2(1)Br(lnr1)2(1)Crf()jrEr第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移将上步径向位移表达式（b）带入到式（a）中第二式切向应变可得：uj4Br=f()jjE积分可得：4Brju=f()jjdf()rj1E将以上得到的关于ur和uj的表达式带入应变式（a）适中的第三式可得：1df()jdf()rr1f()11fd()jj=0rddjrrr第四章平面问

6、题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移1df()jdf()rr1f()11fd()jj=0rddjrrr将上式变量分离到等式两边的：df()rdf()j1f()rr=f()jjd1ddrj上式等号两边分别只是单独r和单独j的函数式，要使该式成立，两边须为同一常数，因此有：df()r1fF()rr=(d)1drdf()j=f()jjdF(e)dj第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移df()r1fF()rr=(d)1drdf()j=f()jjdF(e)dj式（d）的解答：f()rr=HF其中H为常数。1对式（e）两边求导，变为

7、微分方程：2df()j=f()j0其解为：f()j=IcosjKsinj（g）2dj另由（e）式：df()jf()jjd=F=FIsinjKcosj（h）dj第四章平面问题的极坐标解答4.5轴对称应力和相应的位移将以上式（f）（h）代入式（b）（c），得轴对称位移表达式。1Au=[(1)2(1)Br(lnr1)(13)BrrEr2(1)CrIsinjKcosj4Brju=HrIsinjKcosjjE以上即是轴对称条件下的应力函数、应力、应变及位移分量的通用表达式。式中：A、B、C