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《工程力学 第25章 虚位移应力在弹性静力学中的应用new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第25章虚位移原理在弹性静力学中的应用作用在弹性体上的力，在弹性体变形的过程中，其作用点发生位移，力因而作功。根据机械能守恒定理，如果没有能量损失，力所作之功将转变为弹性体的应变能。据此，通过计算弹性体的应变能，可以确定弹性体在加力点、沿加力反向的位移。但是，这种方法难以确定任意点、沿任意方向的位移，也不能确定弹性杆件的位移函数。虚位移原理以及由虚位移原理导出的莫尔积分和基于莫尔积分的图形互乘法，不仅可以用于确定加力点、沿加力方向的位移，而且可以确定弹性体上任意点、沿任意方向的位移。本章将虚位移原理用于弹性杆件，由此导出计
2、算弹性杆件位移的莫尔积分以及图形互乘法。§25-1基本概念25－1－1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功25－1－2杆件的弹性应变能*§25-2互等定理25－2－1功的互等定理25－2－2位移互等定理*§25-3应用于弹性杆件的虚位移原理25－3－1原理的表述25－3－2必要性的简单证明25－3－3虚位移模式的多样性1§25-4由虚位移原理导出莫尔积分§25-5计算莫尔积分的图乘法§25-6结论与讨论25－6－1关于单位力的讨论25－6－2应用图乘法时弯矩图的另一种画法习题本章正文返回总目录2第25章虚位移原理在弹性
3、静力学中的应用§25－1基本概念25－1－1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。图25－1力与位移的线性关系对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系(图25－1)。这时，力所作的变力功(图24－2a)为1WF=D（25－1）P23图25－2作用在弹性体上的力所作的常力功和变力功弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，
4、作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是常力功(图25－2b):WF=D¢（25－2）P需要指出的是，上述功的表达式(25－1)和(25－2)中，力和位移都是广义的。FP可以是一个力，也可以是一个力偶；当FP是一个力时，对应的位移Δ和Δˊ都是线位移，当FP是一个力偶时，对应的位移Δ和Δˊ都是角位移。25－1－2杆件的弹性应变能杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为一种能量，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有对外作功的能力，这种能量称为弹性应变能，简称应变能(elasticenergy).考察微段
5、杆件的受力和变形，应用弹性范围内力和变形之间的线性关系，可以得到微段应变能表达式，然后通过积分即可得到计算杆件应变能的公式。对于拉伸和压缩杆件，微段的应变能1dV=Fd(Dl)N2其中d(Δl)微段的轴向变形量，Δl为杆件的伸长或缩短量：FlNDl＝EA代入上式后，得到杆件的应变能表达式21FlNV=FlD=（25－3）N22EA对于承受弯曲的梁，忽略剪力影响，微段的应变能为1dV=Mdq2其中d?为微段两截面绕中性轴相对转的角度，2dwMdq=dx=dx2dxEI代入上式积分后，得到梁的应变能的表达式l21MlV=òMd
6、q=（25－4）22EI0对于承受扭转的圆轴，微段的应变能1dV=Mdjx2其中dj为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：4Mxdj=dxGIP代入上式积分后，得到圆轴扭转时的应变能表达式l21MlxV=Mdj=（25－5）òx22GI0P上述应变能表达式必须在小变形条件下、并且在弹性范围内加载时才适用。对于一般受力形式，杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和扭矩作用时，由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是，有222FlMlMlNxV=++（25－6）222EAEIGIP对于杆件
7、长度上各段的内力分量不等的情形，需要分段计算然后相加：222FlMlMlNiiiixiiV=++ååå（25－7a）iii222EAEIGIP或者采用积分计算：222FMMNxV=++òòòdxddxx（25－7b）222EAEIGIlliP*§25－2互等定理应用能量守恒原理和叠加原理，可以导出功的互等定理与位移互等定理。25－2－1功的互等定理假设两个不同的力系：F(i=1,2,...,m)和F(j=1,2,...,n)作用在两个相同的梁(或PiSj结构)上，在弹性范围内加载和小变形的条件下，有下列重要结论：力系F(i
8、=1,2,...,m)在力系F(j=1,2,...,n)引起的位移上所作之功，等于力系PiSjF(j=1,2,...,n)在力系F(i=1,2,...,m)引起的位移上所作之功。SjPi这一结论称为功的互等定理（reciprocaltheoremofwork）。这一定理的数学表达式为mnååFFPiDD
