第2.6节 随机变量函数的分布 - 副本.ppt

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1、第2.6节随机变量函数的分布*已知圆轴截面直径d的分布，求截面面积的分布；1.问题的提出*已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻)的分布……已知随机变量X的分布，对函数Y=g(X)，如何由X的分布求出Y的分布？?例1设随机变量X分布列如下表,试求Y=(X-1)2的分布列.解X-1012pk0.20.30.10.4Y014pk0.10.70.22.离散型随机变量函数的分布Y所有可能值为0,1,4,由P{Y=4}=P{X=-1}=0.2P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1P{Y

2、=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7故Y的分布列为3.连续型随机变量函数的分布设Y的分布函数为FY(y)，则例2设求Y=2X+8的概率密度.于是Y的密度函数解故其中定理设X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度p(x)的连续型随机变量,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，记y=g(x)的反函数为x=h(y)，则Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为例3设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求随机变量函数Y=-2lnX的概率密度.解在区间(0,1)上,函数lnx<0,故y=-2lnx>

3、0,故y在区间(0,1)上单调下降,有反函数,由定理得由X在(0,1)上服从均匀分布知得即:Y服从指数分布Exp(0.5).例4设X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.求导可得当y>0时,Y=X20，故当y0时，设Y和X的分布函数分别为和，注意到解若密度函数为：,则Y=X2的概率这是自由度为1的卡方分布。时,例5设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.当y0时,当y1时,当故解注意到=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）当0

4、)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.根据已知条件知F的反函数F-1存在且严格递增，故证明设Y的分布函数是G(y),,于是对y>1,G(y)=1;对y<0,G(y)=0;由于对0≤y≤1,G(y)=P(F(X)≤y)=P(X≤F-1(y))=F(F-1(y))=y即Y的分布函数求导得Y的密度函数为注：此结论在计算机模拟中有重要的应用.课堂练习1.设X~N(,2)，则当a0时,Y=aX+b~N(a+b,a22).正态变量的线性不变性由此得若X~N(,2)，则Y=(X)/

5、N(0,1).2.(1)设X~N(10,22)，求Y=3X+5的分布;(2)设X~N(0,22)，求Y=-X的分布.3.设X~N(,2)，则Y=eX的服从对数正态分布4.设X~Ga(,)，则当k>0时，Y=kX~Ga(,/k).