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时间:2020-01-25
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1、第四章数字特征主讲:周仲礼一、数学期望在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的全部概率特征也就知道了.然而,在实际问题中,概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了.因此,在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是重要的.其中最常用的是期望和方差一、离散型随机变量的数学期望概念的引入:某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢?我们来看这个问题.若统计100天,例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工
2、小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢?32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢?可以想象,若另外统计100天,车工小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均由频率和概
3、率的关系不难想到,在求废品数X的平均值时,用概率代替频率,得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.定义1设X是离散型随机变量,它的概率分布是:P{X=Xk}=pk,k=1,2,…也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果有限,定义X的数学期望两点分布X∼B(1,p),0
4、>0,则E(X)=二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x05、分.若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则若X服从若X服从参数为由随机变量数学期望的定义,不难计算得:这意味着,若从该地区抽查很多个成年男子,分别测量他们的身高,那么,这些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高X~三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出:设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X的期望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢?如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是,因为g(X)也是随机变量,故应有概率分布,它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定6、义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢?下面的基本公式指出,答案是肯定的.类似引入上述E(X)的推理,可得如下的基本公式:设X是一个随机变量,Y=g(X),则当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为f(x).该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布,而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.X∼N(0,1)求:E(X2)解:例3设:国际市场上对我国某种出口商品的每7、年需求量是随机变量X(单位:吨).X服从区间[2000,4000]上的均匀分布.每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元;若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源,才能使国家收益最大?例4.设组织货源t吨.显然应要求2000≤t≤4000.国家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X).表达式为:解由已知条件,X的概率密度函为可算得当t=3500时,E(Y)=-2t2+14000t-8000000达到最大,因此,应组织3500吨货源.说明前面我们给出了求g(X)的期望的方法.实际上定理的结论可以原封不动地推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情
5、分.若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则若X服从若X服从参数为由随机变量数学期望的定义,不难计算得:这意味着,若从该地区抽查很多个成年男子,分别测量他们的身高,那么,这些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高X~三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出:设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X的期望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢?如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是,因为g(X)也是随机变量,故应有概率分布,它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定
6、义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢?下面的基本公式指出,答案是肯定的.类似引入上述E(X)的推理,可得如下的基本公式:设X是一个随机变量,Y=g(X),则当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为f(x).该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布,而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.X∼N(0,1)求:E(X2)解:例3设:国际市场上对我国某种出口商品的每
7、年需求量是随机变量X(单位:吨).X服从区间[2000,4000]上的均匀分布.每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元;若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源,才能使国家收益最大?例4.设组织货源t吨.显然应要求2000≤t≤4000.国家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X).表达式为:解由已知条件,X的概率密度函为可算得当t=3500时,E(Y)=-2t2+14000t-8000000达到最大,因此,应组织3500吨货源.说明前面我们给出了求g(X)的期望的方法.实际上定理的结论可以原封不动地推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情
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