有限测定数据的统计处理.ppt

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1、3-4有限测定数据的统计处理一、置信度与μ的置信区间日常分析中测定次数是很有限的，总体平均值自然不为人所知。但是随机误差的分布规律表明，测定值总是在以μ为中心的一定范围内波动，并有着向μ集中的趋势。因此，如何根据有限的测定结果来估计μ可能存在的范围（称之为置信区间）是有实际意义的。该范围愈小，说明测定值与μ愈接近，即测定的准确度愈高。但由于测定次数毕竟较少，由此计算出的置信区间也不可能以百分之百的把握将μ包含在内，只能以一定的概率进行判断。（一）已知总体标准偏差σ时对于经常进行测定的某种试样，由于已经积累了大量的测定数据，可以认为σ是已知的。根据（3-14）

2、式并考虑u的符号可得：（3-14a）由随机误差的区间概率可知，测定值出现的概率由u决定。例如，当u=±1.96时。x在μ-1.96σ至μ+1.96σ区间出现的概率为0.95。如果希望用单次测定值x来估计μ可能存在的范围，则可以认为区间x±1.96σ能以0.95的概率将真值包含在内。即有（3-14b）由于平均值较单次测定值的精密度更高，因此常用样本平均值来估计真值所在的范围。此时有式（3-14b）和式（3-17）分别表示在一定的置信度时，以单次测定值x或以平均值为中心的包含真值的取值范围，即μ的置信区间。在置信区间内包含μ的概率称为置信度，它表明了人们对所作的

3、判断有把握的程度，用P表示。u值可由表3-1中查到，它与一定的置信度相对应。(3-17)在对真值进行区间估计时，置信度的高低要定得恰当。一般以95%或90%的把握即可。式（3-14b）和式（3-17）还可以看出置信区间的大小取决于测定的精密度和对置信度的选择，对于平均值来说还与测定的次数有关。当σ一定时，置信度定得愈大，∣u∣值愈大，过大的置信区间将使其失去实用意义。若将置信度固定，当测定的精密度越高和测定次数越多时，置信区间越小，表明x或越接近真值，即测定的准确度越高。例题1：注意：μ是确定且客观存在的，它没有随机性。而区间x±uσ或是具有随机性的，即它们

4、均与一定的置信度相联系。因此我们只能说置信区间包含真值的概率是0.95，而不能认为真值落在上述区间的概率是0.95。（二）已知样本标准偏差S时在实际工作中，通过有限次的测定是无法得知μ和σ的，只能求出和S。而且当测定次数较少时，测定值或随机误差也不呈正态分布，这就给少量测定数据的统计处理带来了困难。此时若用S代替σ从而对μ作出估计必然会引起偏离，而且测定次数越少，偏离就越大。如果采用另一新统计量tP,f取代u(仅与P有关)，上述偏离即可得到修正。t分布法：t值的定义：(3-18)t分布是有限测定数据及其随机误差的分布规律。t分布曲线见图3-6，其中纵坐标仍然

5、表示概率密度值，横坐标则用统计量t值来表示。显然，在置信度相同时，t分布曲线的形状随f（f=n-1）而变化，反映了t分布与测定次数有关有实质。由图3-6可知，随着测定次数增多，t分布曲线愈来愈陡峭，测定值的集中趋势亦更加明显。当f→∞时，t分布曲线就与正态分布曲线合为一体，因此可以认为正态分布就是t的极限。图3-6t分布曲线与正态分布曲线一样，t分布曲线下面某区间的面积也表示随机误差在此区间的概率。但t值与标准正态分布中的u值不同，它不仅与概率还与测定次数有关。不同置信度和自由度所对应的t值见表3-2中。表3-2tP，f值表（双边）t值P90%95%99%9

6、9.5%f(n-1)16.3112.7163.66127.3222.924.309.9214.9832.353.185.847.4542.132.784.605.6052.022.574.034.7761.942.453.714.3271.902.363.504.0381.862.313.353.8391.832.263.253.69101.812.233.173.58201.722.092.843.15301.702.042.75(3.01)601.672.002.66(2.87)1201.661.982.622.81∞1.641.962.582.81由表

7、3-2中的数据可知，随着自由度的增加，t值逐渐减小并与u值接近。当f=20时，t与u已经比较接近。当f→∞时，t→u，S→σ。在引用t值时，一般取0.95置信度。根据样本的单次测定值x或平均值分别表示μ的置信区间时，根据t分布则可以得出以下的关系：（3-18a）或（3-19）式（3-18a）和式（3-19）的意义在于，真值虽然不为所知（σ也未知），但可以期望由有限的测定值计算出一个范围，它将以一定的置信度将真值包含在内。该范围越小，测定的准确度越高。例题2：式（3-19）是计算置信区间通常使用的关系式。由该式可知，当P一定时，置信区间的大小与tP,f、S、n

8、均有关，而且tP,f与S实际也都受n的影响，即n值越