2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第59讲(文)导数的应用.ppt

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1、第五十九讲　导数的应用注意：当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝0，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3，显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．函数极值的定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0)，我们说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)＞f(

2、x0)，就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．3．判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．4．函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如f(x)＝x

3、，x∈(－1,1)．答案：B2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18D．17或18∴f(2)＝18.选C.答案：C3．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在区间[0,3]上的最大值和最小值依次是()A．12，－15B．5，－15C．5，－4D．－4，－15解析：f′(x)＝6x2－6x－12＝0，解得x1＝－1，x2＝2，因为在区间[0,3]上，f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，所以函数f(x)在区间[0,3]上的最

4、大值和最小值依次是5，－15.选B.答案：B4．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为()A．－12解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，若f(x)既有极大值又有极小值，则函数f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)必与x轴有两个不同的交点，则有Δ＝(6a)2－36(a＋2)>0，解得a<－1或a>2.选D.答案：D5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，

5、且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，即当x<0时，f′(x)>0；g(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是减函数，即当x<0时，g′(x)<0，故选B.答案：B类型一　　函数的单调性问题解题准备：求函数单调区间的基本步骤是：①确定函数f(x)的定

6、义域；②求导数f′(x)；③由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是单调递增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是单调递减函数．【典例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．[解析]本题主要考查导数的概念和计算

7、，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．(1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－

8、1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)＜0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：∵f(－1)＝a－2＜a，∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a上方．[点评]利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函