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1、二 用数学归纳法证明不等式举例与正整数n有关的几个不等式(1)当n∈N+,n≥5时,n2<2n.(2)当n∈N+时,
2、sinnθ
3、≤n
4、sinθ
5、.(3)贝努利不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n>1+nx.当α是实数,并且满足α>1或者α<0时,有(1+x)α≥1+αx(x>-1);当α是实数,并且满足0<α<1时,有(1+x)α≤1+αx(x>-1).(4)如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,那么它们的和a1+a2+…+an≥n.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面
6、的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若n∈N+,且n2<2n,则n≥5.()(2)
7、sin3θ
8、≤3
9、sinθ
10、.()(3)若实数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,则a1+a2+…+an≥n.()(4)若x>-1,x≠0,则(1+x)4>1+4x.()×√×√探究一探究二规范解答利用数学归纳法证明不等式分析：找准n0,看左边是多少项,从n=k到n=k+1时添了什么项,少了什么项,根据n=k时的假设,从而证明当n=k+1时不等式成立.探究一探究二规范解答∴当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,对一切的n≥2,且n∈N+,不等式都
11、成立.探究一探究二规范解答反思感悟数学归纳法证明不等式的技巧1.证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,因此需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.2.数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答利用数学归纳法证明数列中的不等式问题分析：证明当n=k+1时不等式成立的关键是利用
12、好n=k成立时的假设,以及当n=k+1时不等式的恰当变形.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答反思感悟利用数学归纳法证明数列中的不等式问题的基本策略1.首先掌握好数学归纳法证明问题的基本步骤以及数列的有关知识,这是解决这类问题的基础.2.这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.证明过程中,注意递推关系式的利用以及正整数n的性质.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答不等式中的归纳、猜想、证明问题典例设f(n)=nn+1,g(n)=(n
13、+1)n,n∈N+.(1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小.(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.【审题策略】对于(1),可逐一计算进行比较;对于(2),可在(1)的基础上进行归纳猜想,然后利用数学归纳法证明猜想.【规范展示】解(1)当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,所以f(1)g(3).当n=4时,nn+1=1024,(n+1)n=625,所以f(4)>g(4).探究
14、一探究二规范解答(2)由(1)可猜测,当n≥3时f(n)>g(n).以下用数学归纳法证明该猜测.①当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)>g(3).所以猜测成立;②假设当n=k(k≥3)时猜测成立,即f(n)>g(n),即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,亦即f(n+1)>g(n+1)成立.因此当n=k+1时猜测成立.由①②知,当n≥3时f(n)>g(n)成立.探究一探究二规范解答【答题模板】第1步:代入计算,逐一进行比较,得出具体结论.⇓第2步:进行归纳猜想,得到一般性结论.⇓第3步:证明初始值成立.⇓第4步:假设当n=k(
15、k≥3)时,结论成立得到归纳假设,并变形.⇓第5步:证明n=k+1时结论成立.⇓第6步:证得结论.探究一探究二规范解答失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:(1)第一问数据计算失误,得不出正确结果;(2)第二问中不能正确地利用归纳并猜想得出一般性结论;(3)用数学归纳法证明时,步骤不完整;(4)证明当n=k+1时结论成立时,不能正确地进行放缩,从而无法利用归纳假设致误.探究一探究二规范解答12345答案：C12345答案：C12345答案：812345因此当n=k+1时不等式成立.故原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.123455.对于
16、一切正整数n,先猜出使tn>n2成立的最小自然数t,然后用数学归纳法证明,并证明
