2020版高考数学大二轮复习课时作业15圆锥曲线的综合问题文.docx

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1、课时作业15　圆锥曲线的综合问题1．[2019·河北邢台模拟]已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋n.由消去y，得x2－x＋n2－1＝0.因为直线y＝－x＋n与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2n2＋2＋>0，①将AB的中点M的坐标代入y＝mx＋，解得n＝－，②由①②得m<－或m>.故m的取值范围是∪.(2)令t＝∈∪，则t2∈.

2、AB

3、＝×，点O到直线AB的距离d＝.设△AOB的面

4、积为S(t)，则S(t)＝

5、AB

6、·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立，此时满足t2∈.故△AOB面积的最大值为.2．[2019·上海静安区模拟]设m>0，椭圆Γ：＋＝1与双曲线C：m2x2－y2＝m2的焦点相同．(1)求椭圆Γ与双曲线C的方程；(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q(P，Q不同于右顶点)，若k1·k2＝－1，求证：直线PQ的斜率为定值，并求出此定值．解析：(1)由题意，得2m＝m2＋1，所以m＝1.所以椭圆Γ的方程为＋y2＝1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.(2)双曲线C的

7、右顶点为(1,0)，因为k1·k2＝－1，不妨设k1>0，则k2<0.设直线l1的方程为y＝k1(x－1)．由得(1－k)x2＋2kx－k－1＝0，则1·xP＝，得xP＝，yP＝k1＝.同理，xQ＝，yQ＝，又k1·k2＝－1，所以xQ＝＝－＝－xP，yQ＝＝＝yP.因为yP＝yQ，所以直线PQ与x轴平行，即kPQ为定值0.3．[2019·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△AB

8、N的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．

9、AB

10、＝

11、x2－x1

12、＝＝·，点N到直线AB的距离d＝＝，则S△ABN＝·

13、AB

14、·d＝≥

15、2，当且仅当k＝0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.4．[2019·贵州贵阳监测]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，为M为短轴的上端点，·＝0，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，

16、AB

17、＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，求k1＋k2的值．解析：(1)由·＝0，得b＝c，将x＝c代入＋＝1中，得y＝±，因为

18、AB

19、＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，所以

20、a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)根据题意设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)(k≠－1)，即y＝kx－2k－1(k≠－1)，将y＝kx－2k－1代入＋y2＝1中，得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0，由题意知Δ＝－16k(k＋2)>0，得－20)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的

21、直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设＝＋，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．解析：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(－1,0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝＝，即＝，解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.(2)解法一　依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝，所以y′＝，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率k＝，所以切线l2的方程为y＝x1

22、(x－x1)＋y1.令x＝0，则y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，所以＝(x1－m，y1＋3)，