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《（通用版）2020版高考数学大二轮复习能力升级练（十八）圆锥曲线综合问题（1）文.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、能力升级练(十八) 圆锥曲线综合问题(1)1.(2019河南开封三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为3的等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A,B两点,直线l:x=4与x轴交于点E,M为线段EF的中点,过点B作直线BN⊥l于点N.证明:A,M,N三点共线.解(1)记椭圆C的焦距为2c,则a=2c,12×2c×b=3,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)F(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-
2、1),代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,易知M52,0,N(4,y2),kAM=y1x1-52,kMN=2y23,∵2y2x1-52-3y1=2k(x2-1)x1-52-3k(x1-1)=k[2x1x2-5(x1+x2)+8]=k8k2-243+4k2-40k23+4k2+8=0,∴kAM=kMN,∴A,M,N三点共线.2.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标
3、为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22.所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+
4、y2x2-2,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.3.(2019山东日照联考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)上
5、在第一象限内的点H(1,t)到焦点F的距离为2.(1)若M-14,0,过点M,H的直线与该抛物线相交于另一点N,求
6、NF
7、的值;(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且OA·OB=94(其中O为坐标原点).①求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于D、G两点,求四边形AGBD面积的最小值.解(1)∵点H(1,t)在抛物线y2=2px(p>0)上,∴1+p2=2,解得p=2,故抛物线E的方程为y2=4x,所以当x=1时t=2,∴直线MH的方程为y=85x+25,联立y2=4x可得,xN=
8、116,
9、NF
10、=xN+p2=116+1=1716.(2)①证明:设直线AB:x=my+t,Ay124,y1,By224,y2,联立抛物线方程可得y2-4my-4t=0,y1+y2=4m,y1y2=-4t,由OA·OB=94,得(y1y2)216+y1y2=94,解得y1y2=-18或y1y2=2(舍去),即-4t=-18⇒t=92,所以直线AB过定点Q92,0.②由①得
11、AB
12、=1+m2
13、y2-y1
14、=1+m2·16m2+72,设D(x3,y3),G(x4,y4),则同理,得
15、GD
16、=1+(-1m) 2
17、y4-y3
18、=1+1m272+16
19、m2.则四边形AGBD面积S=12
20、AB
21、·
22、GD
23、=121+m2·16m2+72·1+1m2·72+16m2=4[2+(m2+1m2)]·[85+18(m2+1m2)].令m2+1m2=μ(μ≥2),则S=418μ2+121μ+170是关于μ的增函数,故当μ=2时,Smin=88.当且仅当m=±1时取到最小值88.4.(2019豫南九校联考)设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.已知
24、OA
25、-
26、OF
27、=1,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程及离心率e的值;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在
28、x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.解(1)由题意可知
29、OF
30、=c=a2-3,又
31、OA
32、-
33、OF
34、
