概率统计第4章.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数矩、协方差矩阵4.1数学期望一.数学期望的定义例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：数学期望——描述随机变量取值的平均特征则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即分数4060708090100人数1691572定义1.若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,则称定义2.(p110)若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值。，则称为离散型随机变量X的数学期望例2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数

2、，求X的数学期望。定义3若X~f(x),-

3、项分布B(n,p)3.泊松分布4.均匀分布U(a,b)5.指数分布6.正态分布N(,2)EX1：设随机变量X的分布律为求随机变量Y=X2的数学期望XPk-101解:YPk10三.随机变量函数的期望定理1若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的期望E(g(X))为(p115)推论:若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望例4设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:解：Y=ax+b关于x严单，反函数为Y的概率密度为EX2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y=

4、aX+b的数学期望(其中a>0)定理2若X~f(x),-

5、(X)+E(Y);证明:设(X,Y)~f(x,y)4.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).证明:设(X,Y)~f(x,y)例2.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数解:设Xj为第j组的化验次数，XjPj1101X为1000人的化验次数，则例3若X~B(n,p),求E(X)解:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则EX1设随机变量XN(

6、0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望EX2设随机变量相互独立，且均服从分布，求随机变量的数学期望答:答:4.2方差(Deviation)一.定义与性质方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？波动程度:能够反映此情形,但计算比较麻烦1.(p121)定义若E(X),E(X2)存在，则称E{[X－E(X)]2}为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).称为r.v.X的标准差可见(deviation,variance)2.推论D(X)=E(X2)－[E

7、(X)]2.证明:D(X)=E{[X－E(X)]2}例1：设随机变量X的概率密度为1)求D(X),2)求解：3.方差的性质(1)D(c)=0反之，若D(X)=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；证明:(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);证明:X与Y独立1.二项分布B(n,p)：二.几个重要r.v.的方差解法二:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则2.泊松分布p()：由于两边对求导得或或3.均匀分布U(a,b)：4.指数分布：5.正态分布N(,2)：思考

8、：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。2.已知随机变量X1,X2,…,X